[论文解读] Analysis of an Energy-based Atomistic/Continuum Coupling Approximation of a Vacancy in the 2D Triangular Lattice

Christoph Ortner, Alexander V. Shapeev|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2011

Graphene research and applications参考文献 23被引用 27

一句话总结

本文针对具有有限范围对势的二维三角晶格中的空位缺陷，对一种基于能量的原子/连续体耦合（a/c）方法进行了严格的先验误差分析。该方法在缺陷附近采用原子分辨率，远场采用连续体模型，通过一种新颖的一致性与稳定性分析，得到了依赖于网格尺寸和解光滑度的H¹范数与能量的收敛速率，并提出了实现最优收敛速率的网格与原子区域设计的实用启发式方法。

ABSTRACT

We present a comprehensive a priori error analysis of a practical energy based atomistic/continuum coupling method (Shapeev, arXiv:1010.0512) in two dimensions, for finite-range pair-potential interactions, in the presence of vacancy defects. The majority of the work is devoted to the analysis of consistency and stability of the method. These yield a priori error estimates in the H1-norm and the energy, which depend on the mesh size and the "smoothness" of the atomistic solution in the continuum region. Based on these error estimates, we present heuristics for an optimal choice of the atomistic region and the finite element mesh, which yields convergence rates in terms of the number of degrees of freedom. The analytical predictions are supported by extensive numerical tests.

研究动机与目标

• 为一种适用于二维晶格中空位缺陷的实用基于能量的原子/连续体耦合方法，提供全面的先验误差分析。
• 通过严格的相容性与稳定性分析，解决原子/连续体界面处的鬼力（ghost forces）问题。
• 推导依赖于网格尺寸以及连续体区域中原子解光滑度的H¹范数与能量误差估计。
• 提出用于最优选择原子区域尺寸与连续体区域有限元网格的启发式方法，以实现最优收敛速率。

提出的方法

• 该方法采用Shapeev（2010）提出的ECC（基于能量的耦合）公式，适用于具有周期性边界条件和对势相互作用的二维三角晶格。
• 引入一种新颖的离散光滑度度量，用于量化连续体区域中原子解的正则性，这对误差估计至关重要。
• 通过在势导数上的局部利普希茨估计与键密度引理，分析了离散W⁻¹ᵖ范数下的相容性误差。
• 通过引入“空位稳定性指标”，将缺陷晶格的稳定性分析简化为均匀晶格的稳定性分析，从而建立了稳定性。
• 结合相容性与稳定性估计，推导出H¹范数与能量的先验误差界。
• 推导出数值启发式方法，将误差界与自由度关联，指导最优网格与原子区域设计。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在二维基于能量的原子/连续体耦合方法中，对空位缺陷的相容性与稳定性进行严格分析？
• RQ2 先验误差界对网格尺寸以及连续体区域中原子解光滑度的依赖关系如何？
• RQ3 空位稳定性指标应如何定义并用于将缺陷晶格的稳定性分析简化为均匀晶格的稳定性分析？
• RQ4 可推导出哪些启发式方法，以实现连续体区域中原子区域尺寸与有限元网格的最优选择，从而最大化收敛速率？
• RQ5 分析性误差估计在实际模拟中的数值收敛行为中，与理论预测的符合程度如何？

主要发现

• 本文建立了依赖于网格尺寸以及连续体区域中原子解光滑度的H¹范数与能量的先验误差估计。
• 提出了一种新颖的离散光滑度度量，使得在更少技术假设下可获得更紧致的相容性误差估计，优于以往工作。
• 空位稳定性指标使得缺陷晶格的稳定性分析可简化为均匀晶格的稳定性分析。
• 通过在势导数上的局部利普希茨估计与键密度引理，将相容性误差限制在离散W⁻¹ᵖ范数中。
• 结合相容性与稳定性分析，得到了依赖于自由度数量的H¹范数与能量的收敛速率，并提出了最优网格与原子区域设计的启发式方法。
• 大量数值测试验证了分析预测，显示与理论收敛速率高度一致。