[论文解读] Analysis of Difficulty Control in Bitcoin and Proof-of-Work Blockchains

Daniel Fullmer, A. Stephen Morse|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2018

Blockchain Technology Applications and Security参考文献 5被引用 10

一句话总结

本文提出了一种比特币及工作量证明区块链中区块到达时间的随机模型，明确将难度视为依赖于先前区块时间的随机变量。推导出区块时间的边缘分布为Lomax分布，表明期望区块时间为 $\frac{\theta_n}{N-1}$，方差为 $\frac{\theta_n^2 N}{(N-1)^2(N-2)}$，关键洞见在于即使哈希算力恒定，由于重调规则的存在，区块时间仍会快 $N/(N-1)$ 倍。

ABSTRACT

This paper presents a stochastic model for block arrival times based on the difficulty retargeting rule used in Bitcoin, as well as other proof-of-work blockchains. Unlike some previous work, this paper explicitly models the difficulty target as a random variable which is a function of the previous block arrival times and affecting the block times in the next retargeting period. An explicit marginal distribution is derived for the time between successive blocks (the blocktime), while allowing for randomly changing difficulty. This paper also aims to serve as an introduction to Bitcoin and proof-of-work blockchains for the controls community, focusing on the difficulty retargeting procedure used in Bitcoin.

研究动机与目标

• 为考虑比特币及类似工作量证明区块链中动态难度重调规则的区块到达时间开发一个随机模型。
• 明确将难度目标建模为依赖于先前区块到达时间的随机变量，以捕捉系统中的反馈回路。
• 在该随机模型下，推导区块时间的边缘分布、期望值与方差。
• 为区块链系统的控制理论分析提供基础，尤其聚焦于难度调整机制。
• 将分析结果与模拟结果进行比较，以验证模型在不同网络条件下的准确性。

提出的方法

• 将区块到达时间建模为双重随机泊松过程，其中强度通过难度重调规则依赖于先前的区块时间。
• 将难度调整周期定义为 $N=2016$ 个区块，每 $N$ 个区块根据实际经过的时间更新一次难度。
• 使用爱尔兰分布对每个重调周期内的平均哈希算力 $\bar{\lambda}_n$ 建模，该分布由 $N$ 个指数分布的到达时间之和导出。
• 通过将指数分布与从爱尔兰分布中抽取的随机速率参数复合，推导出 $n>1$ 时区块时间 $X_{(n-1)N+k}$ 的边缘分布。
• 应用复合分布理论，证明所得边缘分布为形状为 $N$、尺度为 $\theta_n = \frac{\delta_n}{\beta}$ 的Lomax分布。
• 利用Lomax分布的性质，计算区块时间的期望值与方差，同时考虑难度的随机性。

实验结果

研究问题

• RQ1 比特币中的难度重调规则如何影响区块到达时间的统计分布？
• RQ2 当难度基于历史区块时间动态调整时，区块时间的边缘分布是什么？
• RQ3 与固定难度模型相比，随机难度下区块时间的期望值与方差如何变化？
• RQ4 重调周期 $N$ 对区块时间的稳定性和可预测性有何影响？
• RQ5 该模型的分析预测与模拟的区块到达模式相比如何？

主要发现

• 对于 $n>1$，区块时间 $X_{(n-1)N+k}$ 的边缘分布为形状为 $N$、尺度为 $\theta_n = \frac{\delta_n}{\beta}$ 的Lomax分布，该分布通过将指数分布与从爱尔兰分布中抽取的随机速率参数复合而推导得出。
• 期望区块时间为 $\mathbb{E}[X_{(n-1)N+k}] = \frac{\theta_n}{N-1} = \frac{N}{(N-1)\delta_n}\beta$，即使在哈希算力恒定的情况下，也比目标值 $\beta$ 快 $\frac{N}{N-1}$ 倍。
• 区块时间的方差为 $\mathrm{Var}[X_{(n-1)N+k}] = \frac{\theta_n^2 N}{(N-1)^2(N-2)} = \frac{N^3}{(N-1)^2(N-2)\delta_n^2}\beta^2$，当 $N=2$ 时由于Lomax分布的方差无穷大而发散。
• 对于比特币中使用的 $N=2016$，期望区块时间仅比 $\beta$ 略快，其中 $\frac{N}{N-1} \approx 1.000496$，表明具有高度稳定性。
• 模拟结果证实，对于小的 $N$（如 $N=2$），难度调整算法表现极差，此时方差无穷大，区块时间剧烈波动。
• 该模型揭示，即使在哈希算力恒定的情况下，标准比特币重调规则也会因难度更新过程的随机性，而引入区块时间的固有统计波动。