[论文解读] Analysis of Energy-Based Blended Quasicontinuum Approximations

Brian Van Koten, Mitchell Luskin|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2010

Microstructure and mechanical properties参考文献 35被引用 7

一句话总结

该论文提出了一种混合非连续能量（BQCE）方法，通过在k-原子界面区域平滑结合原子模型与Cauchy-Born连续体模型，以减少鬼力并提高在晶格不稳定性附近的精度。对于具有次近邻相互作用的一维链，使用优化的混合函数可使ℓ²应变误差降低k³ᐟ²倍，临界应变误差降低k²倍，显著提升了在裂纹或位错形成附近的精度。

ABSTRACT

The development of patch test consistent quasicontinuum energies for multi-dimensional crystalline solids modeled by many-body potentials remains a challenge. The original quasicontinuum energy (QCE) has been implemented for many-body potentials in two and three space dimensions, but it is not patch test consistent. We propose that by blending the atomistic and corresponding Cauchy-Born continuum models of QCE in an interfacial region with thickness of a small number $k$ of blended atoms, a general quasicontinuum energy (BQCE) can be developed with the potential to significantly improve the accuracy of QCE near lattice instabilities such as dislocation formation and motion. In this paper, we give an error analysis of the blended quasicontinuum energy (BQCE) for a periodic one-dimensional chain of atoms with next-nearest neighbor interactions. Our analysis includes the optimization of the blending function for an improved convergence rate. We show that the $\ell^2$ strain error for the non-blended QCE energy (QCE), which has low order $ ext{O}(ε^{1/2})$ where $ε$ is the atomistic length scale, can be reduced by a factor of $k^{3/2}$ for an optimized blending function where $k$ is the number of atoms in the blending region. The QCE energy has been further shown to suffer from a O$(1)$ error in the critical strain at which the lattice loses stability. We prove that the error in the critical strain of BQCE can be reduced by a factor of $k^2$ for an optimized blending function, thus demonstrating that the BQCE energy for an optimized blending function has the potential to give an accurate approximation of the deformation near lattice instabilities such as crack growth.

研究动机与目标

• 解决多体势能在多维情况下基于能量的准连续体方法缺乏拼贴测试一致性的缺陷。
• 减少鬼力并提高在晶格不稳定性（如位错形成和裂纹扩展）附近的精度。
• 提出一种混合准连续体能量（BQCE），在保持基于能量的公式化的同时实现更优的收敛性与稳定性。
• 优化界面区域的混合函数，以最大化收敛速率并最小化应变与临界应变的误差。

提出的方法

• 提出一种混合准连续体能量（BQCE），通过界面区域的k-原子区域内的混合函数，将原子能与Cauchy-Born连续体能结合。
• 将BQCE能量定义为原子能与Cauchy-Born能的凸组合，其中混合函数在界面区域从1（原子模型）平滑过渡到0（连续体模型）。
• 利用变分框架分析BQCE方法在一维周期性链（含次近邻相互作用）中的表现。
• 推导基于原子尺度ε与混合区域大小k的ℓ²应变误差和临界应变误差的先验误差估计。
• 优化混合函数以最小化误差界，从而实现更优的收敛速率。
• 利用稳定性和建模估计，证明在适当条件下BQCE极小值解的存在性与唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一种混合准连续体能量（BQCE），以减少多体势能在原子-连续体耦合中的鬼力并提高精度？
• RQ2 混合函数的选择如何影响BQCE方法中ℓ²应变误差的收敛速率？
• RQ3 与非混合的QCE相比，使用优化混合函数的BQCE在临界应变误差上理论上可减少多少？
• RQ4 BQCE方法是否能在裂纹扩展或位错运动等晶格不稳定性附近，相比标准QCE实现更高的精度？
• RQ5 对一维BQCE的分析在多维问题中（具有有限范围相互作用）可推广到何种程度？

主要发现

• 非混合QCE方法的ℓ²应变误差量级为O(ε¹ᐟ²)，但使用优化混合函数的BQCE方法可将其降低k³ᐟ²倍。
• QCE方法的临界应变误差为O(1)，而使用优化混合函数的BQCE方法可将其降低k²倍。
• BQCE方法的先验误差估计表明，应变场的误差受ε与k相关项的有界控制，最优混合函数可最小化主导误差项。
• 在适当条件下，BQCE方法被证明具有局部唯一的极小值解，从而确保数值稳定性。
• 理论误差界表明，BQCE可显著提升裂纹传播与位错动力学等晶格不稳定性模拟的精度。
• 该分析为将BQCE推广至多维问题奠定了基础，预期在基准模拟中可观察到类似的误差降低效果。