[论文解读] Analysis of plasmon resonance on smooth domains using spectral properties of the Neumann-Poincaré operators

Kazunori Ando, Hyeonbae Kang|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2014

Numerical methods in inverse problems参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文通过 Neumann-Poincaré (NP) 算子的谱理论分析光滑区域上的等离子体共振，将对称化方法推广，证明单层势在 $H^{-1/2}$ 到 $H^{1/2}$ 上是酉算子。研究证明，在 NP 算子特征值处共振以 $\delta^{-1}$ 速率发散，而在椭圆上的连续谱处共振较弱，对应异常局域共振而非隐身；在三维球体中，连续谱处不发生共振。

ABSTRACT

We investigate in a quantitative way the plasmon resonance at eigenvalues and the essential spectrum (the accumulation point of eigenvalues) of the Neumann-Poincaré operator on smooth domains. We first extend the symmetrization principle so that the single layer potential becomes a unitary operator from $H^{-1/2}$ onto $H^{1/2}$. We then show that the resonance at the essential spectrum is weaker than that at eigenvalues. It is shown that anomalous localized resonance occurs at the essential spectrum on ellipses, but cloaking does not occur on ellipses unlike the core-shell structure considered in [20]. It is shown that resonance does not occur at the essential spectrum on three dimensional balls.

研究动机与目标

• 定量比较 Neumann-Poincaré 算子在光滑区域上特征值与连续谱处的等离子体共振。
• 将对称化原理推广，使得单层势成为光滑边界上从 $H^{-1/2}$ 到 $H^{1/2}$ 的酉算子。
• 确定在椭圆和三维球体的连续谱处是否发生异常局域共振或隐身现象。
• 推导拉普拉斯算子基本解关于 NP 算子特征函数的展开式，并应用于共振分析。
• 量化当 $\delta \to 0$ 时，具有负介电常数的等离子材料中 $\|\nabla u_\delta\|_{L^2(\Omega)}$ 的发散速率。

提出的方法

• 将 Plemelj 的对称化原理推广，证明在光滑区域上，单层势 $\mathcal{S}_{\partial\Omega}$ 是从 $H^{-1/2}(\partial\Omega)$ 到 $H^{1/2}(\partial\Omega)$ 的酉算子。
• 利用 NP 算子的谱分解，将基本解 $\Gamma(x-z)$ 表示为包含特征函数 $\psi_n^m$ 和特征值 $\lambda_n$ 的级数形式。
• 应用展开公式分析 $\delta \to 0$ 时梯度能量 $\|\nabla u_\delta\|_{L^2(\Omega)}$ 的行为，其中 $\epsilon_c + i\delta$ 趋近于负实数介电常数。
• 在 $\mathbb{R}^3$ 中使用球谐函数，在 $\mathbb{R}^2$ 中使用椭圆坐标系中的椭圆调和函数，推导球体和椭圆上单层势的显式展开式。
• 利用 Unsöld 定理和 $L^2$-范数估计，得到 $|\nabla \mathcal{S}_{\partial\Omega}[\psi_n^m](z)|^2 \lesssim n^2 r_0^{-2(n+2)}$，其中 $|z| = r_0 > 1$。
• 分析 $\|\nabla(u_\delta - F_z)\|_{L^2(\Omega)}$ 的渐近行为，证明其在 $\delta \to 0$ 时一致有界，表明在三维球体中连续谱处无发散。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $\delta \to 0$ 时，NP 算子特征值处 $\|\nabla u_\delta\|_{L^2(\Omega)}$ 的定量发散速率是多少？
• RQ2 连续谱处的共振（特征值的聚点）与特征值处的共振相比，其定量差异如何？
• RQ3 在椭圆上连续谱处是否发生异常局域共振？若是，其精确速率为何？
• RQ4 在椭圆上连续谱处是否可能发生隐身现象，如同在 [20] 中研究的核壳结构一样？
• RQ5 在三维球体的连续谱处是否发生共振？此时梯度能量的行为如何？

主要发现

• 在 NP 算子特征值处共振导致 $\|\nabla u_\delta\|_{L^2(\Omega)} \sim \delta^{-1}$ 的发散速率，当 $\delta \to 0$ 时。
• 在椭圆上的连续谱处共振弱于 $\delta^{-1}$，对应异常局域共振，其精确速率通过椭圆坐标系中的调和展开推导得出。
• 在椭圆的连续谱（0）处发生异常局域共振，但隐身现象并未发生，与 [20] 中研究的核壳结构不同。
• 在三维球体的连续谱处不发生共振，因为 $\|\nabla u_\delta\|_{L^2(\Omega)}$ 在 $\delta \to 0$ 时保持一致有界。
• 在 $\mathbb{R}^3$ 中单位球和 $\mathbb{R}^2$ 中椭圆上，拉普拉斯算子基本解 $\Gamma(x-z)$ 关于 NP 特征函数的展开式被显式推导，通过谱理论恢复了已知结果。
• 证明了在光滑区域上，单层势 $\mathcal{S}_{\partial\Omega}$ 是从 $H^{-1/2}(\partial\Omega)$ 到 $H^{1/2}(\partial\Omega)$ 的酉算子，从而推广了对称化原理。