[论文解读] Analysis of the SORAS domain decomposition preconditioner for non-self-adjoint or indefinite problems

Marcella Bonazzoli, Xavier Claeys+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2020

Matrix Theory and Algorithms参考文献 29被引用 1

一句话总结

本文针对非自伴或不定线性系统，对 SORAS（对称优化受限加法 Schwarz）域分解预条件子进行了严格的收敛性分析，将现有理论推广至非对称正定问题之外。通过建立预条件矩阵范数及其实值域到原点距离的界，作者证明了在无粗网格或对系数施加严格限制假设的前提下，对带有 Robin 型传输条件的反应-对流-扩散方程应用 GMRES 方法时，该方法仍能收敛。

ABSTRACT

We analyze the convergence of the one-level overlapping domain decomposition preconditioner SORAS (Symmetrized Optimized Restricted Additive Schwarz) applied to a generic linear system whose matrix is not necessarily symmetric/self-adjoint nor positive definite. By generalizing the theory for the Helmholtz equation developed in [I.G. Graham, E.A. Spence, and J. Zou, SIAM J.Numer.Anal., 2020], we identify a list of assumptions and estimates that are sufficient to obtain an upper bound on the norm of the preconditioned matrix, and a lower bound on the distance of its field of values from the origin. We stress that our theory is general in the sense that it is not specific to one particular boundary value problem. Moreover, it does not rely on a coarse mesh whose elements are sufficiently small. As an illustration of this framework, we prove new estimates for overlapping domain decomposition methods with Robin-type transmission conditions for the heterogeneous reaction-convection-diffusion equation (to prove the stability assumption for this equation we consider the case of a coercive bilinear form, which is non-symmetric, though).

研究动机与目标

• 开发适用于标准谱分析失效的非自伴或不定问题的一般收敛性框架。
• 将域分解预条件子的实值域分析方法从对称正定问题推广至更广泛的问题类别。
• 为应用于具有 Robin 型传输条件的异质反应-对流-扩散方程的 SORAS 预条件子建立收敛性界。
• 在不依赖粗网格的前提下，证明方法对对流、反应和扩散系数变化的鲁棒性。

提出的方法

• 将实值域方法从亥姆霍兹方程推广至一类广泛的非自伴与不定问题。
• 定义一组假设与估计，足以界定预条件矩阵的范数及其实值域到原点的距离。
• 将该框架应用于具有强制性非对称双线性形式的反应-对流-扩散方程。
• 在子域界面处采用 Robin 型传输条件以构造 SORAS 预条件子。
• 在对物理系数与数值参数施加最小假设的前提下，证明稳定性和收敛性。
• 通过 FreeFEM 与 ffddm 框架进行数值验证，包括在对流主导区域采用 SUPG 稳定化。

实验结果

研究问题

• RQ1 实值域框架能否推广至为非自伴与不定问题提供收敛性界？
• RQ2 在何种条件下，SORAS 预条件子可使预条件矩阵有界且其实值域远离原点？
• RQ3 能否为应用在具有 Robin 传输条件的反应-对流-扩散方程上的 SORAS 预条件子严格建立收敛性界？
• RQ4 在对流主导区域中，收敛性是否对对流强度、反应系数与粘性系数具有鲁棒性？
• RQ5 该方法是否在不依赖具有小尺寸的粗网格的情况下仍保持有效性？

主要发现

• SORAS 预条件子在双线性形式非对称且强制的反应-对流-扩散方程上实现了收敛，即使在 Robin 型传输条件下亦然。
• 随着对流与反应系数的变化，GMRES 迭代次数保持有界且鲁棒，数值实验表明 ORAS 通常优于 SORAS。
• 对于对流主导问题，当 a = [1, 0]^T 时，标准 Galerkin 方法表现出不稳定性，但采用 SUPG 稳定化后恢复了鲁棒性并实现了收敛。
• 弱缩放测试表明，当子域数 N 增加时，迭代次数随之增长，尤其在小粘性 ν = 0.001 时更为明显，表明需要采用两层方法。
• 增大重叠区域 δ 可改善 SORAS 与 ORAS 的收敛性，且当 ˜c = c₀ − 1 的稳定性条件被违反时，两种方法仍保持有效性。
• 该理论框架无需依赖具有小尺寸的粗网格，从而与以往的两层方法形成鲜明区别。