[论文解读] Analytical expressions of copositivity for 4th order symmetric tensors and applications

Yisheng Song, Liqun Qi|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2019

Tensor decomposition and applications参考文献 41被引用 7

一句话总结

本文推导了四阶对称张量的共正性及正定性的解析充分必要条件，聚焦于二维和三维情形。研究提供了显式、封闭形式的判别准则，可实现粒子物理学中标量场势能真空稳定性的验证，尤其适用于两实标量场与希格斯玻色子的情形，为NP难的多项式非负性检验提供了一种数学上严格且计算上可行的替代方案。

ABSTRACT

In particle physics, scalar potentials have to be bounded from below in order for the physics to make sense. The precise expressions of checking lower bound of scalar potentials are essential, which is an analytical expression of checking copositivity and positive definiteness of tensors given by such scalar potentials. Because the tensors given by general scalar potential are 4th order and symmetric, our work mainly focuses on finding precise expressions to test copositivity and positive definiteness of 4th order tensors in this paper. First of all, an analytically sufficient and necessary condition of positive definiteness is provided for 4th order 2 dimensional symmetric tensors. For 4th order 3 dimensional symmetric tensors, we give two analytically sufficient conditions of (strictly) cpositivity by using proof technique of reducing orders or dimensions of such a tensor. Furthermore, an analytically sufficient and necessary condition of copositivity is showed for 4th order 2 dimensional symmetric tensors. We also give several distinctly analytically sufficient conditions of (strict) copositivity for 4th order 2 dimensional symmetric tensors. Finally, we apply these results to check lower bound of scalar potentials, and to present analytical vacuum stability conditions for potentials of two real scalar fields and the Higgs boson.

研究动机与目标

• 建立四阶对称张量共正性与正定性的解析可处理的充分必要条件。
• 解决四次齐次多项式非负性检验的计算不可行性问题，该问题在次数≥4时为NP难。
• 为涉及两实标量场与希格斯玻色子的标量场理论中的真空稳定性条件提供显式解析表达式。
• 将已知的矩阵共正性结果推广至高阶张量，特别是低维空间中的四阶对称张量。
• 为粒子物理学中标量势能下界有界性的验证提供数学上严格且计算上可行的框架。

提出的方法

• 通过代数约化与对称性分析，推导出四阶二维对称张量正定性的解析充分必要条件。
• 应用维数约化与阶数约化技术，推导出四阶三维对称张量严格共正性的两个充分条件。
• 通过分析导出的多变量表达式的符号，建立四阶二维对称张量共正性的解析充分必要条件。
• 将标量势能转化为四次齐次多项式形式，以张量积表示。
• 通过将耦合常数映射为张量元素，将推导出的张量共正性条件应用于物理标量势能。
• 通过与现有物理真空稳定性条件对比验证结果，表明其等价或优于已有结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在二维情形下，四阶对称张量正定性的解析充分必要条件是什么？
• RQ2 能否通过维数约化技术，为三维情形下的四阶对称张量导出严格共正性的充分条件？
• RQ3 四阶对称张量在二维情形下的共正性由哪些显式解析表达式表征？
• RQ4 如何将这些张量共正性条件应用于推导粒子物理学中标量势能的真空稳定性条件？
• RQ5 所推导的解析条件与文献中已有结果相比，是否能获得等价或改进的真空稳定性判据？

主要发现

• 推导出四阶二维对称张量正定性的解析充分必要条件，以张量元素及其平方根表示。
• 通过约化技术，确立了四阶三维对称张量严格共正性的两个解析充分条件。
• 提供了四阶二维对称张量共正性的解析充分必要条件，涉及对角元与非对角项的组合，包含平方根项。
• 提出了多个不同的四阶二维对称张量严格共正性的解析充分条件，每个条件均涉及张量分量的不等式。
• 将推导出的张量条件应用于两实标量场与希格斯玻色子的标量势能，得到了以耦合常数表示的显式真空稳定性条件。
• 对于Z₃标量暗物质模型，本文基于四阶张量的严格共正性，推导出一组新的解析真空稳定性条件，与[25, 26]及[12]中的先前结果不同。