[论文解读] Polynomial complementarity problems

M. Seetharama Gowda|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2016

Tensor decomposition and applications参考文献 14被引用 42

一句话总结

本文通过分析多项式映射 f 及其首项齐次项 f^∞ 之间的关系，建立了多项式互补问题（PCPs）具有非空紧致解集的条件。关键结果表明：若 PCP(f^∞, 0) 的唯一解为零，且 min{x, f^∞(x)} 在原点处的拓扑度非零，则对所有 q ∈ ℝⁿ，PCP(f, q) 可解，显著推广了现有的张量互补问题结果。

ABSTRACT

Given a polynomial map f on the Euclidean n-space and a vector q, the polynomial complementarity problem, PCP(f,q), is the nonlinear complementarity problem of finding a nonnegative vector x such that y=f(x)+q is nonnegative and orthogonal to x. It is called a tensor complementarity problem if the polynomial map is homogeneous. In this paper, we establish results connecting the polynomial complementarity problem PCP(f,q) and the tensor complementarity problem PCP(f*,0), where f* is the leading term in the decomposition of f as a sum of homogeneous polynomial maps. We show, for example, that PCP(f,q) has a nonempty compact solution set for every q when zero is the only solution of PCP(f*,0)and the local (topological) degree of min{x,f*(x)} at the origin is nonzero. As a consequence, we establish Karamardian type results for polynomial complementarity problems. By identifying a tensor A of order m and dimension n with its corresponding homogeneous polynomial F(x):= Ax^{m-1}, we relate our results to tensor complementarity problems. These results show that under appropriate conditions, PCP(F+P,q) has a nonempty compact solution set for all polynomial maps P of degree less than m-1 and for all vectors q, thereby substantially improving the existing tensor complementarity results where only problems of the type PCP(F,q) are considered. We introduce the concept of degree of an R_0-tensor and show that the degree of an R-tensor is one. We illustrate our results by constructing matrix based tensors.

研究动机与目标

• 通过分析多项式映射的渐近行为，建立多项式互补问题（PCPs）的全局可解性条件。
• 将 Karamardian 型结果从线性和张量互补问题推广至更广泛的多项式映射类别。
• 引入并分析 R₀ 张量的度的概念，证明 R₀ 张量的度为 1。
• 证明当 F 对应于 m 阶张量时，对所有次数小于 m−1 的多项式映射 P 及所有 q，PCP(F + P, q) 具有非空紧致解集。
• 提供 PCP(f, q) 对所有 q 的解集非空且紧致的条件，即使 f 不是共正的，但 f^∞ 是共正的。

提出的方法

• 本文将多项式映射 f 分解为齐次分量，识别出 f^∞ 为次数为 m−1 的首项齐次项。
• 利用拓扑度理论分析 min{x, f^∞(x)} 在原点处的局部行为，尤其关注其度数非零的情形。
• 通过齐次性与极限行为，将 PCP(f, q) 的解集与 PCP(f^∞, 0) 的解集联系起来。
• 应用变分不等式与互补理论，将 PCP(f, q) 的可解性与 f^∞ 的结构及其解集的对偶锥联系起来。
• 引入 R₀ 张量的度的概念，利用拓扑度刻画可解性与唯一性。
• 通过基于矩阵的张量构造例子，说明理论结果，尤其在反对称与共正映射的情境下。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，多项式互补问题 PCP(f, q) 对所有 q ∈ ℝⁿ 都具有非空紧致解集？
• RQ2 能否基于首项齐次项 f^∞ 的性质，特别是当 PCP(f^∞, 0) 仅有平凡解时，保证 PCP(f, q) 的可解性？
• RQ3 min{x, f^∞(x)} 在原点处的拓扑度如何影响 PCP(f, q) 的全局可解性？
• RQ4 Karamardian 型全局可解性结果能否从线性和张量互补问题推广至一般的多项式互补问题？
• RQ5 R₀ 张量的度具有何种意义？它如何与张量互补问题中解的可解性与唯一性相关？

主要发现

• 若 PCP(f^∞, 0) 的唯一解为零，且 min{x, f^∞(x)} 在原点处的拓扑度非零，则对所有 q ∈ ℝⁿ，PCP(f, q) 具有非空紧致解集。
• 本文证明了一个 Karamardian 型结果：若存在 d > 0，使得 PCP(f^∞, 0) 和 PCP(f^∞, d) 均仅有零解，则对所有 q，PCP(f, q) 可解。
• 对于 m 阶张量 𝒜，若 TCP(𝒜, 0) 和 TCP(𝒜, d) 均仅有零解，则对所有次数小于 m−1 的多项式映射 P 及所有 q，PCP(F + P, q) 具有非空紧致解集。
• 证明了 R₀ 张量的度为 1，为张量互补问题的可解性提供了拓扑刻画。
• 即使对于齐次多项式映射，PCP(f, q) 的解集也可能不闭，反例表明可解的 q 的集合可能不闭。
• 仅 f^∞ 共正不足以保证全局可解性，除非同时满足 PCP(f^∞, 0) 唯一解为零的条件，反例使用了反对称矩阵予以说明。