[论文解读] Analytical Methods and Field Theory for Disordered Systems

Thimothée Thiery|arXiv (Cornell University)|May 21, 2017

Random Matrices and Applications参考文献 200被引用 3

一句话总结

该论文发展了分析场论方法以研究无序弹性体系，重点聚焦于去钉扎转变点的雪崩动力学及定向聚合物中的精确可解性。通过功能重正化群（FRG）与贝特 ansatz 技术，论文建立了普适的标度律，并在KPZ普适类中识别出新的精确可解模型，包括对数伽马模型与反贝塔模型，其具有显式的平稳测度，且在有限温度下贝塔模型表现出非普适行为。

ABSTRACT

This thesis presents several aspects of the physics of disordered elastic systems and of the analytical methods used for their study. On one hand we will be interested in universal properties of avalanche processes in the statics and dynamics (at the depinning transition) of elastic interfaces of arbitrary dimension in disordered media at zero temperature. To study these questions we will use the functional renormalization group. After a review of these aspects we will more particularly present the results obtained during the thesis on (i) the spatial structure of avalanches and (ii) the correlations between avalanches. On the other hand we will be interested in static properties of directed polymers in $1+1$ dimension, and in particular in observables related to the KPZ universality class. In this context the study of exactly solvable models has recently led to important progress. After a review of these aspects we will be more particularly interested in exactly solvable models of directed polymer on the square lattice and present the results obtained during the thesis in this direction: (i) classification of Bethe ansatz exactly solvable models of directed polymer at finite temperature on the square lattice; (ii) KPZ universality for the Log-Gamma and Inverse-Beta models; (iii) KPZ universality and non-universality for the Beta model; (iv) stationary measures of the Inverse-Beta model and of related zero temperature models.

研究动机与目标

• 理解零温下弹性界面雪崩过程的普适标度性质，以及去钉扎转变点的标度性质。
• 利用功能重正化群（FRG）技术分析无序弹性体系中雪崩的空间结构与关联性质。
• 对有限温度下正方形晶格上定向聚合物的精确可解模型进行分类。
• 为对数伽马与反贝塔聚合物等特定模型建立KPZ普适性。
• 研究贝塔模型中精确可解性与普适性之间的相互作用，揭示其同时具有普适与非普适行为。

提出的方法

• 应用功能重正化群（FRG）研究零温下无序弹性界面的静态与动态性质。
• 利用FRG分析去钉扎转变点的雪崩动力学，包括关联性与空间结构。
• 对具有短程弹性的正方形晶格上定向聚合物的Bethe ansatz可积模型进行分类。
• 利用代数可积性与平稳测度技术，精确求解连续定向聚合物模型。
• 通过精确可解性与弗雷德霍姆行列式方法，推导普适标度极限与有限尺寸修正。
• 通过将有限温度结果与KPZ固定点预测进行比较，分析贝塔模型中的非普适行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 无序弹性界面中雪崩的空间结构与关联性的普适标度律是什么？
• RQ2 功能重正化群方法如何描述弹性体系在去钉扎转变点的临界行为与雪崩动力学？
• RQ3 正方形晶格上哪些定向聚合物模型在有限温度下可通过Bethe ansatz精确求解？
• RQ4 对数伽马与反贝塔模型在其标度极限中在多大程度上表现出KPZ普适性？
• RQ5 反贝塔模型的平稳测度具有何种性质？其与零温模型及KPZ普适性有何关联？

主要发现

• FRG方法成功捕捉了去钉扎转变点处弹性界面雪崩大小与空间关联的普适标度行为。
• 雪崩的空间结构被发现具有自相似性，其普适分形维数与理论预测一致。
• 对数伽马与反贝塔模型被确认为通过Bethe ansatz精确可解，从而可精确计算自由能与关联函数。
• 通过精确标度极限与KPZ固定点匹配，确认了对数伽马与反贝塔模型属于KPZ普适类。
• 贝塔模型表现出普适与非普适行为：尽管自由能分布的尾部与Tracy-Widom GUE分布一致，但有限尺寸修正偏离普适性。
• 反贝塔模型的平稳测度被精确导出，为有限温度模型与零温界面模型之间建立了桥梁。