[论文解读] Analytical properties and applications of the Wright function

Rudolf Gorenflo, Yuri Luchko+1 more|ArXiv.org|Jan 28, 2007

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 7被引用 226

一句话总结

本文全面综述了Wright函数的解析性质及其在分数阶偏微分方程（FPDEs）中的核心作用，特别是在时间分数阶扩散-波方程的格林函数表示中的应用。研究证明，当 ρ > -1 时，Wright函数是完全正规增长的整函数，并通过李群对称性方法展示了其在构造尺度不变解中的应用，给出了基于广义Wright函数和特殊函数的显式表达式。

ABSTRACT

In this survey paper we consider some applications of the Wright function with special emphasis of its key role in the partial differential equations of fractional order. It was found that the Green function of the time-fractional diffusion-wave equation can be represented in terms of the Wright function. Furthermore, extending the methods of Lie groups in partial differential equations to the partial differential equations of fractional order it was shown that some of the group-invariant solutions of these equations can be given in terms of the Wright and the generalized Wright functions.Finally, we discuss recent results about distribution of zeros of the Wright function, its order, type and indicator function.

研究动机与目标

• 系统化并呈现 ρ > -1 和 β ∈ ℂ 时Wright函数 φ(ρ, β; z) 的解析性质。
• 确立Wright函数在求解分数阶扩散-波方程边值问题中的作用。
• 通过以Wright函数和广义Wright函数表示的群不变解，将李群方法扩展至分数阶PDE。
• 分析Wright函数的零点分布、阶、型和指标函数，证明其为完全正规增长函数。
• 通过Wright函数框架统一分数阶微积分、积分变换和物理建模中的应用。

提出的方法

• 利用Wright及其他学者的经典结果，推导涉及Wright函数的积分表示和拉普拉斯变换对。
• 应用渐近分析和特殊函数理论，表征Wright函数的行为，包括其超几何型表示。
• 使用Erdélyi-Kober分数阶积分和微分算子，将时间-和空间分数阶PDE约化为可通过Wright函数求解的ODE。
• 应用尺度对称性（群不变性）将分数阶PDE转化为自相似形式，从而得到以 φ(ρ, β; z) 表示的解。
• 采用广义超几何函数和广义Wright函数 pΨq，表达时间-和空间分数阶扩散方程中一般 α, β 的解。
• 通过分析其阶、型和指标函数，证明Wright函数是完全正规增长的整函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 ρ > -1，Wright函数 φ(ρ, β; z) 的完整解析性质是什么？包括其渐近性态、零点分布及增长特性？
• RQ2 Wright函数如何用于构造分数阶扩散-波方程的精确解（特别是格林函数）？
• RQ3 李群对称性方法如何推广至分数阶PDE？其不变解如何通过Wright函数表达？
• RQ4 Wright函数的零点分布是怎样的？这与其阶、型和指标函数有何关联？
• RQ5 广义Wright函数和超几何型特殊函数如何在时间-和空间分数阶PDE的解中出现？

主要发现

• 对于所有 ρ > -1，Wright函数 φ(ρ, β; z) 是完全正规增长的整函数。
• 时间分数阶扩散-波方程（0 < α ≤ 2）的格林函数可表示为Wright函数 φ(−α/2, 1; z)。
• 时间-和空间分数阶PDE ∂t^α u = D ∂x^β u 的尺度不变解为 u(x,t) = t^γ ∑ C_j v_j(x t^{-α/β})，其中 v_j 通过广义Wright函数表示。
• 当 β = 2 且 1 < α < 2 时，解简化为 φ(−α/2, 1 + γ; ±y/√D) 的组合，明确展示了Wright函数在对称解中的作用。
• 当 β = 1 时，尺度不变解为 u(x,t) = t^γ φ(−α, 1 + γ; x t^{-α}/D)，证实了Wright函数在第一阶空间分数阶模型中的直接适用性。
• Wright函数的零点分布被证明是规则的，支持其被归类为完全正规增长函数。