[论文解读] Explicit solution for a two--phase fractional Stefan problem with a heat flux condition at the fixed face

Sabrina Roscani, Domingo A. Tarzia|arXiv (Cornell University)|May 23, 2018

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 43被引用 9

一句话总结

本文针对具有Caputo时间分数阶导数（0 < α < 1）和固定边界处热通量条件的半无限域中的两相分数阶Stefan问题，提出了一个显式解析解。利用Wright函数和Mainardi函数，作者推导出相似解，并在一项猜想下建立了热通量边界条件问题与温度边界条件问题之间的等价性，当 α → 1 时，恢复经典Neumann解。

ABSTRACT

A generalized Neumann solution for the two-phase fractional Lam\'e--Clapeyron--Stefan problem for a semi--infinite material with constant initial temperature and a particular heat flux condition at the fixed face is obtained, when a restriction on data is satisfied. The fractional derivative in the Caputo sense of order $\al \in (0,1)$ respect on the temporal variable is considered in two governing heat equations and in one of the conditions for the free boundary. Furthermore, we find a relationship between this fractional free boundary problem and another one with a constant temperature condition at the fixed face and based on that fact, we obtain an inequality for the coefficient which characterizes the fractional phase-change interface obtained in Roscani--Tarzia, Adv. Math. Sci. Appl., 24 (2014), 237-249. We also recover the restriction on data and the classical Neumann solution, through the error function, for the classical two-phase Lam\'e-Clapeyron-Stefan problem for the case $\al=1$.

研究动机与目标

• 推导具有固定边界处热通量边界条件的两相分数阶Lamé–Clapeyron–Stefan问题的显式广义Neumann解。
• 建立具有热通量边界条件的分数阶自由边界问题与具有固定温度边界条件的对应问题之间的关系。
• 将经典两相Stefan问题（α = 1）作为极限情况恢复，通过误差函数获得已知的Neumann解。
• 基于等价性结果，推导出描述温度边界条件问题中相变界面系数的不等式。
• 表明通过将初始温度设为熔化温度，一相分数阶Stefan问题可作为两相模型的特例。

提出的方法

• 对固相和液相热方程中的时间变量使用阶数为 α ∈ (0, 1) 的Caputo分数阶导数，建立两相分数阶Stefan问题的数学模型。
• 应用相似变量将问题转化为具有自由边界条件的常微分方程组。
• 利用Wright函数和Mainardi函数，以特殊函数形式表达显式解。
• 提出一个猜想，以在相似解框架下建立热通量边界条件问题与温度边界条件问题之间的等价性。
• 推导出关键方程（56），其中涉及Mainardi函数，用于通过系数 µα 确定自由边界位置。
• 通过取分数阶解的极限，恢复经典情况（α = 1），并证明其收敛于经典问题的误差函数解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有固定边界处热通量条件的两相分数阶Stefan问题存在广义Neumann解？
• RQ2 具有热通量边界条件的分数阶自由边界问题与具有固定温度边界条件的对应问题之间存在何种关系？
• RQ3 当 α → 1 时，分数阶解的极限行为如何？是否能恢复经典Neumann解？
• RQ4 能否基于等价性结果，推导出描述温度边界条件问题中界面系数的不等式？
• RQ5 本文提出的两相模型与一相分数阶Stefan问题之间存在何种关系？

主要发现

• 推导出在 x = 0 处具有热通量条件的两相分数阶Stefan问题的显式解，该解通过Wright函数和Mainardi函数表达。
• 解满足自由边界 s(t) 与 t^{α/2} 成正比，其中系数 µα 由包含Mainardi函数的非线性方程确定。
• 当 α = 1 时，解退化为包含误差函数的经典Neumann解，且恢复了数据限制（9）。
• 作者提出一个猜想，若该猜想成立，则在相似解框架下，热通量边界条件问题与温度边界条件问题等价。
• 基于等价性结果，推导出描述温度边界条件问题中界面系数 ξα 的不等式（62），并将其与热通量系数 q0 联系起来。
• 通过将初始温度 Ti 设为熔化温度 Tm，可从 [25] 中的一相分数阶Stefan问题中恢复出特例。