[论文解读] Analyzing the structure of multidimensional compressed sensing problems through coherence

Alexander Daniel Jones, Ben Adcock+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2016

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 35被引用 4

一句话总结

本文将渐近非相干性分析扩展至多维压缩感知，表明在任意维度下，使用可分小波稀疏性的傅里叶采样可实现最优的 $N^{-1}$ 非相干性衰减。在二维情况下，标准采样方案与最优排序兼容；在更高维度下，较差的小波平滑性会限制子采样，除非使用更平滑的小波，而张量基由于维数问题导致非相干性衰减次优。

ABSTRACT

Recently it has been established that asymptotic incoherence can be used to facilitate subsampling, in order to optimize reconstruction quality, in a variety of continuous compressed sensing problems, and the coherence structure of certain one-dimensional Fourier sampling problems was determined. This paper extends the analysis of asymptotic incoherence to cover multidimensional reconstruction problems. It is shown that Fourier sampling and separable wavelet sparsity in any dimension can yield the same optimal asymptotic incoherence as in one dimensional case. Moreover in two dimensions the coherence structure is compatible with many standard two dimensional sampling schemes that are currently in use. However, in higher dimensional problems with poor wavelet smoothness we demonstrate that there are considerable restrictions on how one can subsample from the Fourier basis with optimal incoherence. This can be remedied by using a sufficiently smooth generating wavelet. It is also shown that using tensor bases will always provide suboptimal decay marred by problems associated with dimensionality. The impact of asymptotic incoherence on the ability to subsample is demonstrated with some simple two dimensional numerical experiments.

研究动机与目标

• 将渐近非相干性分析从一维扩展至多维压缩感知问题。
• 确定标准的二维及更高维度采样模式是否与多维傅里叶-可分小波问题中的最优非相干性衰减兼容。
• 研究小波平滑性与基结构（可分 vs. 张量）对非相干性衰减和子采样性能的影响。
• 在任意维度下，为傅里叶采样与可分小波稀疏性建立最优排序。
• 通过数值实验表明，非相干性结构直接影响子采样下的重建质量。

提出的方法

• 分析从 $d$ 维连续反问题中导出的无限测量矩阵 $U$ 的非相干性，其来源于傅里叶采样与可分小波稀疏性。
• 通过 $\mu(P_N^ot U) \to 0$ 当 $N \to \infty$ 定义渐近非相干性，其中非相干性衰减速率由 $\mu(U) = \sup_{i,j} |U_{ij}|^2$ 衡量。
• 引入并应用最优排序——即采样基元素的特定序列——以实现最快的可能非相干性衰减，即 $N^{-1}$，与一维最优速率一致。
• 在二维中使用双曲与线性采样模式，比较可分与张量小波基的性能。
• 通过 $L^1$ 重建误差的数值实验，评估不同非相干性衰减行为下的子采样策略。
• 利用小波傅里叶变换衰减估计与双曲交叉索引，应用理论界，证明非相干性衰减的下界与上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将一维压缩感知中 $N^{-1}$ 的最优渐近非相干性衰减速率扩展至多维问题？
• RQ2 标准的二维采样模式（如径向、螺旋、双曲）是否与二维傅里叶-可分小波问题中的最优非相干性衰减兼容？
• RQ3 小波平滑性如何影响在高维问题中实现最优非相干性的可行性？
• RQ4 为何张量积小波基在高维中导致非最优的非相干性衰减？
• RQ5 非相干性结构在多大程度上决定了多维压缩感知中子采样策略的有效性？

主要发现

• 在任意维度下，使用可分小波稀疏性的傅里叶采样可实现最优的 $N^{-1}$ 渐近非相干性衰减速率，与一维情况一致。
• 在二维情况下，最优排序与常见的采样方案（如径向、螺旋、双曲）兼容。
• 在三维或更高维度下，较差的小波平滑性（如可分哈尔小波）会导致非旋转对称的最优排序，从而限制使用标准模式的有效子采样。
• 使用足够平滑的生成小波可恢复在高维中与最优子采样兼容。
• 张量积小波基由于维数问题，始终导致非最优的非相干性衰减，其衰减速率在二维中受 $1/\sqrt{N}$ 限制，在更高维度中更差。
• 数值实验确认，双曲采样模式下，可分基与张量基的重建质量相似；而线性模式则因 $N^{-1}$ 与 $N^{-1/2}$ 的非相干性衰减速率差异，更有利于可分基。