[论文解读] Anatomy of torsion in the CM case

Abbey Bourdon, Pete L. Clark+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文对定义在次数 $ d $ 数域上的 CM 椭圆曲线的最大挠子群大小 $ T_{\mathrm{CM}}(d) $ 进行了全面的分析研究。它确定了最大挠子群的低阶、典型阶、平均阶及分布，表明 $ T_{\mathrm{CM}}(d) $ 的增长类似于 $ d \log \log d $，且存在正密度的次数使得挠子群结构达到最大值。

ABSTRACT

Let $T_{\mathrm{CM}}(d)$ denote the maximum size of a torsion subgroup of a CM elliptic curve over a degree $d$ number field. We initiate a systematic study of the asymptotic behavior of $T_{\mathrm{CM}}(d)$ as an "arithmetic function". Whereas a recent result of the last two authors computes the upper order of $T_{\mathrm{CM}}(d)$, here we determine the lower order, the typical order and the average order of $T_{\mathrm{CM}}(d)$ as well as study the number of isomorphism classes of groups $G$ of order $T_{\mathrm{CM}}(d)$ which arise as the torsion subgroup of a CM elliptic curve over a degree $d$ number field. To establish these analytic results we need to extend some prior algebraic results. Especially, if $E_{/F}$ is a CM elliptic curve over a degree $d$ number field, we show that $d$ is divisible by a certain function of $\# E(F)[\mathrm{tors}]$, and we give a complete characterization of all degrees $d$ such that every torsion subgroup of a CM elliptic curve defined over a degree $d$ number field already occurs over $\mathbb{Q}$.

研究动机与目标

• 系统分析 $ T_{\mathrm{CM}}(d) $（即定义在次数 $ d $ 数域上的 CM 椭圆曲线的最大挠子群大小）的渐近行为。
• 确定 $ T_{\mathrm{CM}}(d) $ 作为算术函数的低阶、典型阶与平均阶。
• 刻画所有 CM 椭圆曲线在次数 $ d $ 数域上的挠子群均已出现在 $ \mathbb{Q} $ 上的次数 $ d $ 的集合，称为“Olson 次数”。
• 研究在次数 $ d $ 数域上作为 CM 椭圆曲线挠子群出现的阶为 $ T_{\mathrm{CM}}(d) $ 的同构类群 $ G $ 的数量。
• 将连接数域次数 $ d $ 与定义在其上的 CM 椭圆曲线挠子群大小的代数整除性约束关系加以推广。

提出的方法

• 建立整除条件：若 $ E $ 是定义在次数 $ d $ 数域上的 CM 椭圆曲线，则 $ d $ 必须被一个依赖于 $ \#E(F)[\operatorname{tors}] $ 的函数整除，该函数由 ray class field 理论与 CM 理论导出。
• 利用 ray class fields 理论与 CM 域的结构，对有理挠点的可能阶进行有界。
• 应用解析数论工具，包括 Hölder 不等式与除数函数 $ \tau(n) $ 的估计，以控制具有大 $ T_{\mathrm{CM}}(d) $ 的次数 $ d $ 的数量。
• 利用 Luca、Pizzarro-Madariaga 与 Pomerance 最近得到的结果，研究满足 $ u\ell + v $ 有大素因子 $ p-1 $ 的素数 $ \ell $ 的分布，以控制低阶分析中的例外情况。
• 利用算术级数中的素数定理与密度论证，证明对于满足 $ \ell \equiv 1 \pmod{3} $ 的素数 $ \ell $，存在正比例的次数 $ d = \frac{\ell - 1}{3} $ 能产生不同的最大挠子群阶。
• 应用关于 $ \#E(F)[\operatorname{tors}] $ 的乘法结构以及包含挠点的 CM 域的最小次数的定理，证明映射 $ d \mapsto T_{\mathrm{CM}}(d) $ 在正密度子集上是单射。

实验结果

研究问题

• RQ1 CM 椭圆曲线在次数 $ d $ 数域上的最大挠子群大小 $ T_{\mathrm{CM}}(d) $ 的低阶是什么？
• RQ2 CM 椭圆曲线在次数 $ d $ 数域上的典型阶是什么？它与上阶相比如何？
• RQ3 CM 椭圆曲线在次数 $ d $ 数域上的平均阶是什么？其在奇数 $ d $ 与无限制 $ d $ 上的行为如何？
• RQ4 哪些次数 $ d $ 具有这样的性质：所有定义在次数 $ d $ 数域上的 CM 椭圆曲线的挠子群均已出现在 $ \mathbb{Q} $ 上？（即“Olson 次数”）
• RQ5 有多少个同构类的有限交换群 $ G $，其阶为 $ T_{\mathrm{CM}}(d) $，可作为定义在次数 $ d $ 数域上的 CM 椭圆曲线的挠子群？

主要发现

• $ T_{\mathrm{CM}}(d) $ 的低阶为 $ \gg d \log \log d $，与上阶仅相差常数因子，表明 $ T_{\mathrm{CM}}(d) \asymp d \log \log d $ 在最优意义下成立。
• $ T_{\mathrm{CM}}(d) $ 的典型阶为 $ \asymp d \log \log d $，意味着对大多数 $ d $，最大挠子群大小按 $ d \log \log d $ 的速度增长。
• $ T_{\mathrm{CM}}(d) $ 在所有 $ d $ 上的平均阶为 $ \asymp d \log \log d $，且在奇数 $ d $ 上的平均阶亦为 $ \asymp d \log \log d $，表明其平均增长具有一致性。
• “Olson 次数”——即所有定义在 $ \mathbb{Q}(d) $ 上的 CM 挠子群均已出现在 $ \mathbb{Q} $ 上的次数 $ d $ 的集合——具有正的渐近密度。
• 对于 $ d \leq x $，存在 $ \gg x / \log x $ 个不同的 $ T_{\mathrm{CM}}(d) $ 取值，且映射 $ d \mapsto T_{\mathrm{CM}}(d) $ 在正密度子集上是单射，意味着最大挠子群具有高度多样性。