[论文解读] Ancestral lineages and limit theorems for branching Markov chains

Vincent Bansaye|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 57被引用 6

一句话总结

本文研究了在时变非时齐环境中多类型分支马尔可夫链的极限定理，利用脊柱分解和广义的多对一根公式，分析种群规模、特征分布及极端个体的长期行为。主要贡献在于：在几乎必然意义下，种群规模超过某一阈值的对数增长率收敛，其与环境依赖的繁殖律及马尔可夫祖先谱系相关联。

ABSTRACT

We consider a branching model in discrete time where each individual has a trait in some general state space. Both the reproduction law and the trait inherited by the offsprings may depend on the trait of the mother and the environment. We study the long time behavior of the population and the ancestral lineage of typical individuals under general assumptions, which we specify for applications to some models motivated by biology. Our results focus on the growth rate, the trait distribution among the population for large time, so as local densities and the position of extremal individuals. The approach consists in comparing the branching Markov chain to a well chosen (possibly non-homogeneous) Markov chain.

研究动机与目标

• 分析具有一般状态空间中特征的多类型分支马尔可夫链在一般时变环境下的长期行为。
• 研究种群中增长率、特征分布、局部密度及极端个体位置的行为。
• 将经典结果如多对一根公式与脊柱分解方法推广至非时齐、特征依赖的繁殖模型。
• 建立种群规模超过增长阈值的对数大小的几乎必然收敛结果。
• 为细胞分裂、感染动力学以及具有空间与时间非齐性特征的生态模型提供理论基础。

提出的方法

• 使用广义的多对一根公式，将分支种群上可加泛函的期望与马尔可夫脊柱过程的分布联系起来。
• 应用脊柱分解方法，以典型个体的祖先谱系为条件，从而分析极端行为。
• 引入一个时变马尔可夫链以建模环境与特征演化，其转移核依赖于当前环境与个体特征。
• 通过在繁殖律上施加遍历性与矩条件，确保祖先过程与种群增长的收敛性。
• 通过函数 $f_n$ 的重归一化方法，处理非常返或非平稳的特征动态。
• 依赖大偏差原理与二阶矩界，分析种群规模超过阈值时的尾部行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 当繁殖律与环境为时变且依赖于特征时，种群规模如何随时间增长？
• RQ2 随着时间推移，种群中个体的特征分布的渐近分布是什么？
• RQ3 极端个体（如具有最大特征的个体）的位置如何演化，其增长率如何？
• RQ4 典型个体的祖先谱线能否通过马尔可夫过程描述，其如何影响种群的长期行为？
• RQ5 在何种条件下，种群规模超过增长阈值 $a_n$ 的对数大小能实现几乎必然收敛？

主要发现

• 在 Kimmel 模型中，当 $2\gamma > 0$ 且种群存活时，特征超过阈值 $a_n$ 的个体数的对数增长率几乎必然收敛于 $\log(2\gamma)$。
• 对于随机环境中的分支随机游走，$\frac{1}{n}\log Z_n[an,\infty)$ 的几乎必然极限为 $\log(m) - \Lambda(a)$，其中 $a \geq \mathbb{E}(X)$ 且 $\log(m) > \Lambda(a)$，此处 $\Lambda$ 为随机游走的速率函数。
• 超过 $a_n$ 的种群规模的渐近行为由环境依赖的繁殖率及基础马尔可夫过程的大偏差行为所决定。
• 该方法通过将脊柱分解与多对一根公式推广至时变设定，能够处理非时齐环境与非 i.i.d. 增量。
• 定理 5 中的二阶矩条件可根据环境条件放宽，从而扩大其在时变繁殖模型中的适用范围。
• 在 Kimmel 模型的弱亚临界情形下，若 $2\gamma > 0$，则感染细胞数 $N_n^*$ 满足 $\frac{1}{n}\log N_n^* \to \log(2\gamma)$ 几乎必然在存活事件上成立。