[论文解读] Anomalies of discrete symmetries in various dimensions and group cohomology

Anton Kapustin, Ryan Thorngren|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 33被引用 92

一句话总结

本文通过群上同调和拓扑规范场论，系统研究了在2、3和4个时空维度中，自旋统计为玻色子的量子场论中离散全局对称性的异常。研究发现，当总对称性是全局对称性G与规范群D的非平凡扩张时，异常会出现，并确定了哪些异常可以通过更高维度的Dijkgraaf-Witten理论的异常流入来消除。结果表明，一般异常可能包含自由费米子理论所不允许的非二次、非三次项。

ABSTRACT

We study 't Hooft anomalies for discrete global symmetries in bosonic theories in 2, 3 and 4 dimensions. We show that such anomalies may arise in gauge theories with topological terms in the action, if the total symmetry group is a nontrivial extension of the global symmetry by the gauge symmetry. Sometimes the 't Hooft anomaly for a d-dimensional theory with a global symmetry G can be canceled by anomaly inflow from a (d+1)-dimensional topological gauge theory with gauge group G. Such d-dimensional theories can live on the surfaces of Symmetry Protected Topological Phases. We also give examples of theories with more severe 't Hooft anomalies which cannot be canceled in this way.

研究动机与目标

• 理解在2、3和4维中，玻色子理论里离散全局对称性的't Hooft异常的起源与分类。
• 阐明此类异常在何种情况下可通过(d+1)维拓扑规范场论的异常流入来消除。
• 识别无法通过流入消除的异常，表明这些异常可能出现在对称性增强拓扑(SET)相的表面，而非拓扑序(SPT)相中。
• 证明玻色子理论中的一般异常可包含自由费米子系统无法实现的高阶项（如五次项）。

提出的方法

• 使用(d+1)维的Dijkgraaf-Witten拓扑规范场论来建模异常流入，其分类由H^{d+1}(BG, U(1))中的元素决定。
• 分析作用量中包含拓扑项的规范理论，其中异常源于全局对称群G对规范群D的非平凡扩张。
• 采用群上同调和分类空间BG对异常进行分类，特别使用H^{d+2}(BG, Z)和H^{d+1}(BG, U(1))进行异常分类。
• 在4维和5维中构造显式作用量，包含U(1)规范场和周期性标量场，利用DB上同调确保作用量的规范不变性。
• 推导作用量的规范变分以识别异常，表明其依赖于背景规范场和对称性变换。
• 使用对称与反对称张量（K^{ijk}, L^{ijkl}, M^{ijklm}）来参数化5维和4维中的通用拓扑作用量，确保整数性以保证量子理论的良定义性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，玻色子理论中的离散全局对称性会表现出't Hooft异常？
• RQ2 此类异常在何种情况下可通过(d+1)维Dijkgraaf-Witten理论的异常流入来消除？
• RQ3 哪些类型的异常出现在玻色子理论中，而无法在自由费米子系统中实现？
• RQ4 总对称群的非阿贝尔扩张如何影响异常的结构？
• RQ5 在标准陈-西蒙斯形式之外，高阶项（如五次项）在异常中起什么作用？

主要发现

• 玻色子理论中离散对称性的异常可在偶数和奇数时空维度中存在，而费米子理论则仅限于偶数维度。
• 当异常仅依赖于G规范场时，且由H^{d+1}(BG, U(1))分类，则异常可通过(d+1)维Dijkgraaf-Witten理论的异常流入来消除。
• 在4维中，五次异常源于涉及规范场和周期性标量场的五形式项的拓扑作用量，该异常无法在自由费米子系统中实现。
• 在4维中，对于G = Z_n^N，一般异常包含非三次项，如来自M^{ijklm}张量的五次项，表明并非所有异常都源于手征费米子异常。
• 对于阿贝尔G，4维中最一般的异常为五次型，而自由费米子异常仅为三次型，揭示了异常结构的根本差异。
• 本文构建了一个包含K^{ijk}、L^{ijkl}和M^{ijklm}张量的5维Dijkgraaf-Witten理论，表明仅K项具有陈-西蒙斯形式，意味着一般异常无法通过紧化从U(1)^N异常中简化而来。