[论文解读] Anomalous Dissipation in Passive Scalar Transport

Theodore D. Drivas, Tarek M. Elgindi+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 29被引用 7

一句话总结

本文在环面上构造了一个显式的、光滑的不可压缩速度场，该速度场在被动标量输运中诱导出异常耗散——即当扩散系数 κ → 0 时，能量耗散仍保持远离零的有界性。关键结果表明，对于初始数据接近拉普拉斯算子特征函数的情形，粘性耗散率 κ∫|∇θᴷ|²dxdt 关于 κ 均匀地有正的下界，与 κ 无关，从而证明了具有 C¹⁻ 霍尔德连续漂移的输运方程解的非唯一性。

ABSTRACT

We study anomalous dissipation in hydrodynamic turbulence in the context of passive scalars. Our main result produces an incompressible $C^\infty([0,T) imes \mathbb{T}^d)\cap L^1([0,T]; C^{1-}(\mathbb{T}^d))$ velocity field which explicitly exhibits anomalous dissipation. As a consequence, this example also shows non-uniqueness of solutions to the transport equation with an incompressible $L^1([0,T]; C^{1-}(\mathbb{T}^d))$ drift, which is smooth except at one point in time. We also provide three sufficient conditions for anomalous dissipation provided solutions to the inviscid equation become singular in a controlled way. Finally, we discuss connections to the Obukhov-Corrsin monofractal theory of scalar turbulence along with other potential applications.

研究动机与目标

• 证明存在确定性的、光滑的不可压缩速度场，其在被动标量输运方程中诱导出异常耗散。
• 在异常耗散的背景下，确立霍尔德正则性阈值的最优性，特别是针对属于 C¹⁻(𝕋ᵈ) 且 α < 1 的漂移场。
• 提供当无粘输运方程的解以受控方式出现奇点时，其在 κ → 0 极限下仍保持非零粘性耗散的充分条件。
• 将结果与奥布霍夫-科尔斯金标量湍流单分形理论相联系，并探讨其对非线性纳维-斯托克斯问题的启示。
• 证明即使速度场在单个时间点失去正则性，耗散率仍保持远离零，从而证明输运方程解的非唯一性。

提出的方法

• 构造一个在 [0,T)×𝕋ᵈ 上属于 C∞ 且在 [0,T] 上属于 L¹ 的无散度速度场 u ∈ C∞([0,T)×𝕋ᵈ) ∩ L¹([0,T];Cα(𝕋ᵈ))，其随时间演化出越来越精细的尺度结构，以模拟湍流级联。
• 采用基于调和函数（如 sin(Mx)sin(Ly) 等）的时间依赖多尺度构造，生成增强标量梯度生成的小尺度特征。
• 应用光滑化与换位估计框架（受 Constantin-E-Titi [CET94] 启发），通过标量与速度场的霍尔德正则性来界定粘性耗散率。
• 利用如下恒等式推导包含粗粒化标量及其通量的能量平衡关系：κ∫|∇θᴷ|²dxdt = ∫τℓ(θᴷ,θᴷ)dxdt + κ∫|∇θ̄ᴷ,ℓ|²dxdt + 低阶项。
• 通过优化光滑化尺度 ℓ = κ¹/(α+1) 来平衡耗散界中的竞争项，从而得到统一的正下界 χα > 0。
• 通过证明弱解可在单个时间点失去正则性但仍表现出异常耗散，从而建立输运方程解的非唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造出一个显式、光滑的不可压缩速度场，使得当 κ → 0 时，被动标量的粘性耗散率仍保持远离零？
• RQ2 在速度场的霍尔德指数 α 表述下，异常耗散发生的正则性阈值的最优值是什么？
• RQ3 当速度场在单个时间点失去正则性（例如，u ∈ L¹([0,T];Cα(𝕋ᵈ)) 且 α < 1）时，是否会导致输运方程解的非唯一性？
• RQ4 在输运方程无粘解中存在受控奇点时，是否能保证异常耗散？
• RQ5 在标量正则性参数 α = 1 − ε 且 β = 0 的端点情形下，奥布霍夫-科尔斯金单分形理论是否最优？

主要发现

• 对任意 α ∈ [0,1)，存在一个 C∞ 的无散度速度场 u ∈ L¹([0,T];Cα(𝕋ᵈ))，使得当初始数据 θ₀ ∈ H²(𝕋ᵈ) 接近非平凡拉普拉斯算子特征函数时，粘性耗散满足 κ∫₀ᵀ|∇θᴷ|²dxdt ≥ χα|θ₀|²_{L²}，其中 χα > 0 与 κ 无关。
• 即使速度场仅为霍尔德连续（指数 α < 1），耗散率仍保持均匀有下界，证明了端点 α = 1 是最优的：当 α = 1 时，异常耗散必趋于零。
• 通过依赖数据的构造方法，可得到一个速度场及耗散率 χα(θ₀) > 0，使得对任意均值为零的 θ₀ ∈ H²(𝕋ᵈ)，相同的下界仍成立，尽管该场与速率依赖于初始数据。
• 该构造证明了在 L¹([0,T];C¹⁻(𝕋ᵈ)) 中具有不可压缩漂移且仅在单个时间点不光滑的输运方程弱解的非唯一性。
• 该方法基于无粘解的受控爆破，建立了一个异常耗散的充分条件，将其与奥布霍夫-科尔斯金理论相联系，并暗示其在纳维-斯托克斯系统中可能存在类似情形。
• 该结果为被动标量湍流中的奥纳斯格尔猜想提供了严格类比，表明霍尔德正则性低于 1 即足以引发异常耗散。