[论文解读] Another Look at Random Infinite Divisibility

S. Satheesh|ArXiv.org|Apr 30, 2003

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 15被引用 10

一句话总结

本文通过直接从给定的拉普拉斯变换构造概率生成函数类，重新定义了随机无限可分性，克服了先前表述中的局限性。它通过N重和建立了收敛到无限可分律的充要条件，统一了经典与几何求和方案下的吸引域。

ABSTRACT

The drawbacks in the formulations of random infinite divisibility in Sandhya (1991, 1996), Gnedenko and Korelev (1996), Klebanov and Rachev (1996), Bunge (1996) and Kozubowski and Panorska (1996) are pointed out. For any given Laplace transform, we conceive random (N) infinite divisibility w.r.t a class of probability generating functions derived from the Laplace transform itself. This formulation overcomes the said drawbacks, and the class of probability generating functions is useful in transfer theorems for sums and maximums in general. Generalizing the concepts of attraction (and partial attraction) in the classical and the geometric summation setup to our formulation we show that the domains of attraction (and partial attraction)in all these setups are same. We also establish a necessary and sufficient condition for the convergence to infinitely divisible laws from that of an N-sum and conversely, that is an analogue of Theorem.4.6.5 in Gnedenko and Korelev (1996, p.149). The role of the divisibiltiy of N and the Laplace transform on that of this formulation is also discussed.

研究动机与目标

• 识别并纠正Sandhya、Gnedenko & Korelev、Klebanov & Rachev、Bunge以及Kozubowski & Panorska等人现有随机无限可分性表述中的根本缺陷。
• 开发一种与给定分布的拉普拉斯变换内在关联的新随机无限可分性框架。
• 统一经典、几何和N重和求和方案下的吸引域（及部分吸引域）。
• 建立通过N重和收敛到无限可分律的必要且充分条件，类比于Gnedenko与Korelev（1996）定理4.6.5。

提出的方法

• 直接从给定分布的拉普拉斯变换推导出一类概率生成函数（PGF），确保与无限可分性兼容。
• 基于此PGF类提出随机无限可分性的新定义，确保一致性并避免先前表述中的缺陷。
• 应用基于所推导PGF类的和与极值的转移定理，推广收敛结果。
• 利用拉普拉斯变换的结构及随机指标N的可分性，分析N重和的行为。
• 采用特征函数与拉普拉斯变换技术，推导无限可分律的收敛条件。
• 通过新表述证明不同求和方案（经典、几何、N重）下的吸引域（及部分吸引域）等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 现有随机无限可分性表述中的根本缺陷是什么，如何系统性地加以纠正？
• RQ2 能否直接从拉普拉斯变换导出一类新的概率生成函数，以实现更稳健的随机无限可分性表述？
• RQ3 在新表述下，经典、几何和N重和设定下的吸引域（及部分吸引域）是否等价？
• RQ4 通过N重和收敛到无限可分律的必要且充分条件是什么，其与现有定理的关系如何？
• RQ5 随机指标N的可分性与拉普拉斯变换的结构如何共同影响新随机无限可分性表述的构建？

主要发现

• 所提出的表述通过将PGF类直接建立在目标分布的拉普拉斯变换之上，克服了早期研究中的关键缺陷。
• 建立了通过N重和收敛到无限可分律的必要且充分条件，其作用类似于Gnedenko与Korelev（1996）定理4.6.5。
• 在新表述下，经典、几何和N重和求和方案下的吸引域（及部分吸引域）被证明完全相同。
• 从拉普拉斯变换导出的PGF类在和与极值的转移定理中表现有效，显著增强了其理论实用性。
• 随机指标N的可分性与拉普拉斯变换在新表述结构中的作用得到正式分析与阐明。
• 本文更正了排版错误，并补充了正式的期刊参考文献，确认该工作已发表于《Statistical Methods》，2004，6(2)，123–144。