[论文解读] Anti-holomorphic semi-invariant submersions from Kählerian manifolds

Hakan Mete Taştan|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文研究从凯勒流形到黎曼流形的反全纯半不变子丛，证明了相关分布的可积性，并证明了在不变垂直分布上奥尼尔张量𝒯的消失。本文建立了子丛为调和或全测地的充要条件，推导出关联总空间、纤维与底空间的显式曲率公式，并证明了从非平坦复空间形式（c ≠ 0）不存在非平凡此类子丛。

ABSTRACT

We study anti-holomorphic semi-invariant submersions from Kählerian manifolds onto Riemannian manifolds. We prove that all distributions which are involved in the definition of the submersion are integrable. We also prove that the O'Neill's tensor $\mathcal{T}$ vanishes on the invariant vertical distribution. We give necessary and sufficient conditions for totally geodesicness and harmonicity of this type submersions. Moreover, we investigate the several curvatures of the total manifold and fibers and give a characterization theorem.

研究动机与目标

• 研究从凯勒流形到黎曼流形的反全纯半不变子丛的几何性质。
• 确定此类子丛为调和或全测地的条件。
• 推导关联总空间、纤维与底流形的曲率公式。
• 利用曲率不变量表征总流形与纤维的几何结构。
• 建立从非平坦复空间形式出发的非平凡子丛的非存在性结果。

提出的方法

• 利用黎曼子丛理论及奥尼尔张量𝒯与𝒜分析几何结构。
• 应用凯勒条件与反全纯半不变分布分解：𝒟与𝒟⊥。
• 利用奥尼尔曲率恒等式与凯勒条件推导曲率公式。
• 使用奥尼尔张量𝒯度量垂直曲率与可积性障碍。
• 利用Levi-Civita联络与拉回联络计算第二基本形式。
• 应用引理5.5与定理5.7以简化涉及∇𝒯的曲率表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 反全纯半不变子丛的水平与垂直分布在何种条件下可积？
• RQ2 奥尼尔张量𝒯在不变垂直分布上何时消失？
• RQ3 此类子丛为调和或全测地的充要条件是什么？
• RQ4 总空间的截面曲率与全纯双截面曲率如何与底空间和纤维的曲率相关？
• RQ5 从非平坦复空间形式（c ≠ 0）出发，是否存在非平凡的反全纯半不变子丛？

主要发现

• 从凯勒流形出发的反全纯半不变子丛的水平与垂直分布是可积的。
• 奥尼尔张量𝒯在不变垂直分布上消失，意味着该处无垂直曲率障碍。
• 子丛为全测地当且仅当水平分布为全测地且𝒯在水平分布上消失。
• 子丛为调和当且仅当纤维的平均曲率向量消失且水平分布为全测地。
• 截面曲率公式（7.6）–（7.11）显式关联了总空间的曲率与底空间、纤维及𝒯张量。
• 从曲率常数c ≠ 0的复空间形式出发，不存在非平凡的反全纯半不变子丛；总空间必为平坦（c = 0）