[论文解读] Anti-Invariant Riemannian Submersions from Cosymplectic Manifolds

Cengizhan Murathan, İrem Küpeli Erken|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用 7

一句话总结

本文介紹了從共辛流形到黎曼流形的反不变黎曼子纖化，並分析其幾何性質。利用曲率張量與涉及結構張量 $Ϗ$ 和Levi-Civita聯絡的可積性條件，本文建立了此類子纖化為全測地線與調和的必要與充分條件。

ABSTRACT

We introduce anti-invariant Riemannian submersions from cosymplectic manifolds onto Riemannian manifolds. We survey main results of anti-invariant Riemannian submersions defined on cosymplectic manifolds. We investigate necessary and sufficient condition for an anti-invariant Riemannian submersion to be totally geodesic and harmonic. We give examples of anti-invariant submersions such that characteristic vector field ξ is vertical or horizontal. Moreover we give decomposition theorems by using the existence of anti-invariant Riemannian submersions.

研究动机与目标

• 定義並研究從共辛流形到黎曼流形的反不变黎曼子纖化。
• 確定此類子纖化為全測地線與調和的必要與充分條件。
• 探討反不变子纖化存在於總共辛流形上所施加的幾何限制。
• 提供具體例子，其中特徵向量場 $\xi$ 為垂直或水平。
• 根據子纖化結構及其可積性張量，建立分解定理。

提出的方法

• 利用近似接結構 $(\phi, \xi, \eta, g_M)$，引入從共辛流形出發的反不变黎曼子纖化。
• 應用O'Neill的基本張量 $\mathcal{T}$ 與 $\mathcal{A}$，分析子纖化的第二基本形式與可積性。
• 利用總流形上的Levi-Civita聯絡 $\nabla$，推導涉及 $\phi$、$\mathcal{T}$ 與 $\mathcal{A}$ 的曲率與協變導數恆等式。
• 應用條件 $\ker F_* \oplus \phi(\ker F_*) \oplus \{\xi\} = (\ker F_*)^\perp$，將水平分布分解。
• 應用公式 $\mathcal{T}_V \phi W = \phi \mathcal{T}_V W$，建立在近似複結構下垂直與水平分量之間的關係。
• 透過跡恆等式與 $\mathcal{T}_V \phi W$ 及 $\mathcal{A}_X \phi W$ 的消失，推導調和與全測地線條件。

实验结果

研究问题

• RQ1 從共辛流形出發的反不变黎曼子纖化在何種條件下為全測地線？
• RQ2 此類子纖化何時為調和？其與 $\phi \mathcal{T}_V$ 迴圈的關係為何？
• RQ3 當 $\xi$ 為垂直或水平時，分布 $\ker F_*$ 的幾何行為如何？
• RQ4 可從反不变子纖化的存在性推導出何種分解定理？
• RQ5 在何種條件下，總流形 $M$ 為局部乘積流形？

主要发现

• 反 invariant 黎曼子纖化為全測地線，當且僅當對所有 $W, V \in \Gamma(\ker F_*)$ 與 $X \in \Gamma((\ker F_*)^\perp)$，有 $\mathcal{T}_W \phi V = 0$ 與 $\mathcal{A}_X \phi W = 0$。
• 子纖化為調和，當且僅當對所有 $V \in \Gamma(\ker F_*)$，有 $\operatorname{Trace} \, \phi \mathcal{T}_V = 0$。
• 子纖化為全測地線，當且僅當 $\mathcal{T}_V \phi W = 0$ 與 $\mathcal{A}_X \phi W = 0$，此亦暗示 $M$ 為局部乘積流形。
• 若對所有相關向量場，有 $\mathcal{A}_X \phi Y = 0$ 與 $\mathcal{T}_V \phi W = 0$，則 $M$ 為局部乘積流形。
• 條件 $g_N((\nabla F_*)(X, \phi Y), F_* \phi V) = -g_M(CY, \phi \mathcal{A}_X V)$ 與 $g_N((\nabla F_*)(V, \phi X), F_* \phi W) = 0$ 刻畫了局部乘積結構。
• 構造了特徵向量場 $\xi$ 為垂直或水平之具體例子，證明此類子纖化的存在性。