[论文解读] Apolarity for determinants and permanents of generic matrices

Masoumeh Sepideh Shafiei|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2012

Advanced Topics in Algebra参考文献 7被引用 3

一句话总结

该论文证明了通用矩阵的行列式、永久式、普拉夫扬和哈夫尼亚诺的极性理想均在二阶生成，提供了显式生成元和格鲁伯纳基。利用拉内斯塔德与施雷耶的结果，推导出这些不变量的仙人掌秩和张量秩的下界，表明当 $ n \geq 3 $ 或 $ n \geq 6 $ 时，它们并非连通和。

ABSTRACT

We show that the apolar ideals to the determinant and permanent of a generic matrix, the Pfaffian of a generic skew symmetric matrix and the Hafnian of a generic symmetric matrix are each generated in degree two. In each case we specify the generators and a Gröbner basis of the apolar ideal. As a consequence, using a result of K. Ranestad and F. O. Schreyer we give lower bounds to the cactus rank and rank of each of these invariants. We compare these bounds with those obtained by J. Landsberg and Z. Teitler.

研究动机与目标

• 确定通用 $ n \times n $ 矩阵的行列式与永久式的极性理想的生成次数。
• 将此分析扩展至通用反对称矩阵的普拉夫扬和通用对称矩阵的哈夫尼亚诺。
• 计算这些不变量的极性理想的显式生成元与格鲁伯纳基。
• 应用拉内斯塔德–施雷耶结果，推导这些不变量的仙人掌秩与秩的下界。

提出的方法

• 使用麦考勒姆的逆系统（极性配对）定义齐次多项式 $ F \in R = \mathsf{k}[a_{ij}] $ 的极性理想 $ \mathrm{Ann}(F) \subset S = \mathsf{k}[d_{ij}] $。
• 利用收缩作用 $ h \circ F = 0 $（其中 $ h \in S_k $），即 $ h $ 消去 $ F $，并通过已知对偶恒等式将其与子式和永久式联系起来。
• 证明 $ \mathrm{Ann}(\det A)_k = M_k(A)^\perp $，其中 $ M_k(A) $ 是 $ k \times k $ 子式的空间。
• 通过 $ 2 \times 2 $ 子永久式和在对角序下不合法的单项式构造极性理想的格鲁伯纳基。
• 应用布赫贝格尔算法验证子永久式与不合法单项式的并集构成格鲁伯纳基。
• 利用拉内斯塔德–施雷耶定理，从极性理想的生成次数推导仙人掌秩与秩的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 通用 $ n \times n $ 矩阵的行列式与永久式的极性理想是否在二阶生成？
• RQ2 通用矩阵的行列式与永久式的极性理想的格鲁伯纳基结构如何？
• RQ3 通用反对称矩阵的普拉夫扬和通用对称矩阵的哈夫尼亚诺的极性理想是否也在二阶生成？
• RQ4 极性理想的生成次数能否用于界定这些不变量的仙人掌秩与秩？
• RQ5 这些不变量是否为连通和，其极性理想结构如何与该性质相关？

主要发现

• 通用 $ n \times n $ 矩阵的行列式的极性理想在二阶生成，其生成元为 $ 2 \times 2 $ 子永久式与不合法单项式。
• 通用 $ n \times n $ 矩阵的永久式的极性理想也在二阶生成，且具有相同的生成元集合。
• 对于通用反对称矩阵的普拉夫扬，其极性理想在二阶生成，且显式构造了格鲁伯纳基。
• 对于通用对称矩阵的哈夫尼亚诺，其极性理想在二阶生成，且提供了格鲁伯纳基。
• 行列式、永久式、普拉夫扬与哈夫尼亚诺的仙人掌秩与秩均受极性理想生成元次数及极性代数维数的下界约束。
• 当 $ n \geq 3 $ 时，行列式与永久式；当 $ n \geq 6 $ 时，普拉夫扬与哈夫尼亚诺均非连通和，因其极性理想在二阶生成。