[论文解读] Applications of integral transforms composition method (ITCM) to wave-type singular differential equations and index shift transmutations

Ahmed Fitouhi, Inèss Jebabli+2 more|arXiv (Cornell University)|May 17, 2018

Mathematical functions and polynomials参考文献 29被引用 9

一句话总结

该论文提出积分变换复合方法（ITCM），用于构造涉及贝塞尔算子的波动型奇异微分方程（如欧拉-泊松-达布尔斯方程和广义辐射方程）的转位算子。通过组合经典积分变换（傅里叶、汉克尔、拉普拉斯等），ITCM 实现了奇异偏微分方程的显式解表示和连接公式，包括多变量贝塞尔型方程和超B-双曲方程，其闭式解通过广义平移算子和降阶算子导出。

ABSTRACT

In the paper we study applications of integral transforms composition method (ITCM) for obtaining transmutations via integral transforms. It is possible to derive wide range of transmutation operators by this method. Classical integral transforms are involved in the integral transforms composition method (ITCM) as basic blocks, among them are Fourier, sine and cosine-Fourier, Hankel, Mellin, Laplace and some generalized transforms. The ITCM and transmutations obtaining by it are applied to deriving connection formulas for solutions of singular differential equations and more simple non-singular ones. We consider well-known classes of singular differential equations with Bessel operators, such as classical and generalized Euler-Poisson-Darboux equation and the generalized radiation problem of A.Weinstein. Methods of this paper are applied to more general linear partial differential equations with Bessel operators, such as multivariate Bessel-type equations, GASPT (Generalized Axially Symmetric Potential Theory) equations of A.Weinstein, Bessel-type generalized wave equations with variable coefficients,ultra B-hyperbolic equations and others. So with many results and examples the main conclusion of this paper is illustrated: the integral transforms composition method (ITCM) of constructing transmutations is very important and effective tool also for obtaining connection formulas and explicit representations of solutions to a wide class of singular differential equations, including ones with Bessel operators.

研究动机与目标

• 开发一种系统化方法，用于构造具有贝塞尔算子的奇异微分方程的转位算子。
• 将积分变换的应用范围扩展至具有变系数和奇异系数的波动型偏微分方程。
• 利用转位技术，为广义欧拉-泊松-达布尔斯方程和GASPT方程推导显式解表示。
• 通过转位算子建立奇异与非奇异微分方程解之间的连接公式。
• 利用ITCM导出的算子，将经典解法（如泊松公式）推广至高维和变系数奇异偏微分方程。

提出的方法

• 积分变换复合方法（ITCM）使用经典积分变换——傅里叶、正弦/余弦-傅里叶、汉克尔、梅林、拉普拉斯及广义变换——的复合作为构建模块，生成转位算子。
• ITCM 构造广义平移算子和降阶算子（一阶与二阶），将简单方程的解映射到更复杂的奇异偏微分方程的解。
• 通过涉及贝塞尔函数和伽马函数的积分表示推导转位算子，实现在不同贝塞尔参数下解的转移。
• 该方法适用于在时间（如EPD）或空间（如广义波动方程）中包含贝塞尔算子的方程，利用指数移位转位算子处理参数变化。
• 通过涉及对称核和广义超几何函数的积分公式构造解，特别适用于初始条件以 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 表示的柯西问题。
• 该方法利用已知积分变换推导显式解公式，例如涉及 $ j_{\nu}(z) $ 贝塞尔函数和 $ {}^{\mu}T^{y}_{x}f(x) $ 广义平移算子的公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用积分变换复合方法（ITCM）系统地构造具有贝塞尔算子的奇异微分方程的转位算子？
• RQ2 利用ITCM生成的转位算子，可为广义欧拉-泊松-达布尔斯方程和GASPT方程推导出哪些显式解表示？
• RQ3 通过ITCM导出的降阶算子如何实现不同贝塞尔参数 $ \mu $ 和 $ \nu $ 的方程之间的解转移？
• RQ4 ITCM-based转位算子在何种方式下将经典解公式（如泊松公式）推广至高维和变系数奇异偏微分方程？
• RQ5 ITCM在何种条件下能为具有奇异系数的柯西问题提供有效解，特别是当 $ \mu = -1, -3, \dots $ 时？

主要发现

• ITCM 成功为一大类奇异偏微分方程（包括空间或时间中含贝塞尔算子的广义波动方程）生成了转位算子。
• 通过降阶算子导出了 $ (B_{\mu})_x u = (B_{\nu})_t u $ 柯西问题的显式解，解以涉及 $ {}^{\mu}T^{y}_{x}f(x) $ 和贝塞尔函数的积分形式表达。
• 当 $ 0 < \mu < \nu $ 时，方程 $ (B_{\mu})_x u = (B_{\nu})_t u $ 在 $ u(x,0) = f(x), u_t(x,0) = 0 $ 条件下的解为 $ u(x,t;\mu,\nu) = \frac{2\Gamma(\frac{\nu+1}{2})}{\Gamma(\frac{\nu-\mu}{2})\Gamma(\frac{\mu+1}{2})} t^{1-\nu} \int_0^t (t^2 - y^2)^{\frac{\nu-\mu}{2}-1} {}^{\mu}T^{y}_{x}f(x) y^{\mu} dy $。
• 当 $ 0 < \nu < \mu $ 时，解为 $ u(x,t;\mu,\nu) = \frac{2\Gamma(\mu - \nu)}{\Gamma^2(\frac{\mu - \nu}{2})} \int_t^\infty (y^2 - t^2)^{\frac{\mu - \nu}{2}-1} {}^{\mu}T^{y}_{x}f(x) y dy $，表明该方法在处理指数变换方面具有高度灵活性。
• 该方法将泊松公式推广至奇异情形，为 $ (B_{\mu})_x u = (B_{\mu})_t u $（其中 $ 0 < \mu < 1 $）提供了解，解通过在 $ p \in [0,1] $ 上的积分表示，采用幂权重核。
• 在方程 $ (B_{\mu})_x u = (B_{\nu})_t u + b^2 u $ 中引入谱参数 $ b^2 $，导致解中包含 $ j_{\frac{\nu - \mu}{2} - 1}(b\sqrt{t^2 - y^2}) $，显示出该方法对扰动系统的适应能力。