[论文解读] Transmutations and Applications: a survey

С. М. Ситник|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2010

Differential Equations and Boundary Problems参考文献 51被引用 43

一句话总结

本综述全面概述了微分算子的嬗变理论，强调其在谱理论、反问题和分数阶微积分中的应用。文中介绍了多种嬗变类型——Sturm-Liouville、Vekua–Erdélyi–Lowndes、Sonine、Poisson、Buschman–Erdélyi——并发展了用于构造嬗变的复合方法，重点展示了酉Volterra嬗变的关键结果及其在奇异和变系数算子中的应用。

ABSTRACT

This is an extended version of originally published survey in the book: "Advances in Modern Analysis and Mathematical Modeling". Editors: Yu.F.Korobeinik, A.G.Kusraev. Vladikavkaz: Vladikavkaz Scientific Center, of the Russian Academy of Sciences and Republic of North Ossetia--Alania, 2008. P. 226-293. (In Russian). In this survey we consider main transmutation theory topics with many applications, including author's own results. The topics covered are: transmutations for Sturm--Liouville operators, Vekua-Erdelyi-Lowndes transmutations, transmutations for general differential operators with variable coefficients, Sonine and Poisson transmutations, transmutations and fractional integrals, Buschman--Erdelyi transmutations, in the search for Volterra unitary transmutations, transmutations for singular differential operators with variable coefficients, composition method for transmutations, some applications and open problems.

研究动机与目标

• 系统化并扩展现有关于变系数微分方程嬗变算子的知识。
• 解决构造酉Volterra嬗变及其应用中的开放问题。
• 探索嬗变算子与分数阶积分算子之间的联系。
• 呈现关于奇异微分算子的新型嬗变结果及其泛函分析性质。
• 为反问题、孤立子理论和函数空间嵌入提供统一框架。

提出的方法

• 利用互换（拼接）性质 $ T A = B T $，将复杂算子 $ A $ 与更简单的模型算子 $ B $ 相关联。
• 应用复合方法，通过因式分解和迭代过程，为一般微分算子构造嬗变。
• 在构造显式嬗变核时，采用积分表示和特殊函数（例如贝塞尔函数、勒让德函数、超几何函数）。
• 结合谱理论、泛函分析和积分变换技术，分析嬗变性质。
• 分析 $ L^p $ 和Sobolev型空间中嬗变算子的存在性与有界性。
• 利用分数阶微积分的成果，将嬗变与Riemann-Liouville型及Erdélyi-Kober型积分算子联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地构造具有变系数的一般微分算子的嬗变算子？
• RQ2 在何种条件下可保证奇异或非光滑算子的酉Volterra嬗变存在？
• RQ3 嬗变算子在求解反问题和谱分析中发挥何种作用？
• RQ4 嬗变算子与分数阶积分算子以及勒让德型和贝塞尔型等特殊函数之间存在何种关系？
• RQ5 复合方法在生成新的嬗变算子类别中起什么作用？

主要发现

• 复合方法使得为包括变系数在内的广泛类微分算子构造嬗变算子成为可能。
• 为Sturm-Liouville算子和奇异算子导出了显式积分表示的嬗变核，尤其涉及贝塞尔型势能。
• 分数阶积分算子的嬗变被证明可推广经典Sonine和Poisson嬗变，扩展其适用范围。
• 本综述建立了Volterra嬗变在 $ L^2 $ 基函数空间中可为酉算子的条件。
• 提出了关于Buschman–Erdélyi嬗变的新结果，包括其在求解积分方程中的作用及其与超几何函数的联系。
• 本文识别并填补了先前综述中的空白，特别是在奇异算子处理以及在孤立子方程和嵌入定理中的应用方面。