[论文解读] Approaches for enumerating permutations with a prescribed number of occurrences of patterns

Brian Nakamura|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2013

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 18被引用 7

一句话总结

本文将基于函数方程的计数技术扩展至统计特定非递增模式（包括132、1432和2341）出现指定次数的排列数，涵盖多重模式与逆序对的情况。通过催化生成函数引入多项式时间算法，并提供Maple计算包，实现对以往难以处理的排列类别的精确模式计数。

ABSTRACT

In recent work, Zeilberger and the author used a functional equations approach for enumerating permutations with r occurrences of the pattern 12...k. In particular, the approach yielded a polynomial-time enumeration algorithm for any fixed nonnegative r. We extend that approach to patterns of the form 12...(k-2)(k)(k-1) by deriving analogous functional equations and using them to develop similar algorithms that enumerate permutations with r occurrences of the pattern. We also generalize those techniques to handle patterns of the form 23...k1 and derive analogous functional equations and enumeration algorithms. Finally, we show how the functional equations and algorithms can be modified to track inversions as well as handle multiple patterns simultaneously. This paper is accompanied by Maple packages that implement the algorithms described.

研究动机与目标

• 将函数方程方法从递增模式（12...k）推广至非单调模式，如132与1432。
• 为恰好包含r个给定模式的排列计数开发高效、多项式时间的算法，即使r > 1亦可适用。
• 将该方法推广至同时追踪排列中多个模式与逆序对。
• 在Maple计算包中实现算法，以支持实际计算与序列生成。

提出的方法

• 使用催化变量推导函数方程，以追踪排列中模式出现次数与逆序对数量。
• 引入带权生成函数，使用变量x_i与y_i编码左侧与右侧逆序的贡献。
• 改编[14]中的递推结构，通过修改插入规则以处理如12...(k-2)k(k-1)与23...k1等模式。
• 利用函数方程构建递归算法，高效计算固定r与模式τ下的s_n(τ,r)。
• 在Maple计算包（如F123n132、F2341、FS3）中实现算法，用于自动序列生成。
• 结合多个函数方程，同时追踪所有长度为3的模式，并计算多重生成函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将用于递增模式的函数方程方法扩展至非单调模式，如132与1432？
• RQ2 能否为恰好包含r个模式τ的排列计数开发多项式时间算法，即使r ≥ 2？
• RQ3 能否将该方法推广至同时追踪排列中多个模式与逆序对？
• RQ4 哪些函数方程控制着具有固定模式出现次数（如123与132）的排列生成函数？
• RQ5 所生成的算法能否产生足够多的项，以推测模式出现序列的P-递归或闭式表达式？

主要发现

• 本文成功将函数方程方法扩展至12...(k-2)k(k-1)与23...k1形式的模式，包括此前难以处理的1432模式。
• 为任意固定r ≥ 0及新模式族，开发了计算s_n(τ,r)的多项式时间算法。
• Maple计算包F123n132可生成恰好包含r个123与s个132的排列序列，示例显示至n=15的项。
• 计算包FS3可计算所有六个长度为3的模式的多重生成函数，至n=11，生成450 MB的展开项文件。
• 实证证据支持一个猜想：当n ≥ r+s+1时，恰好包含r个123与s个132的排列数形式为p(n)2^n，其中p(n)为r+s次多项式。
• 该方法使能够计算出可引出新猜想的序列，例如c_r,s(n)在小r,s时的P-递归性质，并提供工具以探索更深层次的结构特性。