[论文解读] Approximate Birkhoff-James orthogonality and smoothness in the space of bounded linear operators

‎Arpita Mal, Kallol Paul+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2018

Advanced Banach Space Theory参考文献 19被引用 18

一句话总结

本文研究了巴拿赫空间之间有界线性算子的近似Birkhoff-James正交性与光滑性，特别是在紧算子空间构成有界算子空间中的M-理想时的情形。文章建立了算子光滑性的条件，表明当且仅当范数取值集合对称、范数取值向量的像在目标空间中光滑，且算子不在紧算子的闭包中时，光滑性成立。

ABSTRACT

We study approximate Birkhoff-James orthogonality of bounded linear operators defined between normed linear spaces $\mathbb{X}$ and $\mathbb{Y}.$ As an application of the results obtained, we characterize smoothness of a bounded linear operator $T$ under the condition that $\mathbb{K}(\mathbb{X},\mathbb{Y}),$ the space of compact linear operators is an $M-$ideal in $\mathbb{L}(\mathbb{X},\mathbb{Y}),$ the space of bounded linear operators.

研究动机与目标

• 在任意巴拿赫空间之间的紧算子空间中，刻画近似Birkhoff-James正交性（⊥ǫ_D）。
• 将已知的Birkhoff-James正交性与光滑性结果推广至K(X,Y)是有界算子空间L(X,Y)中M-理想的情形。
• 在假设K(X,Y)是L(X,Y)中M-理想的前提下，为有界线性算子T ∈ L(X,Y)的光滑性提供必要且充分条件。
• 在M-理想条件下，将先前关于ℓp空间上算子光滑性的结果推广至任意巴拿赫空间。
• 研究算子T的光滑性与其范数取值集合MT的结构以及T到K(X,Y)的距离之间的关系。

提出的方法

• 通过使用对偶空间中极端泛函刻画Birkhoff-James正交性，并利用参数ǫ ∈ [0,1)将其推广至近似正交性。
• 应用紧算子空间对偶空间上极端泛函与X**和Y*上极端泛函的初等张量之间的对偶关系。
• 运用巴拿赫空间中M-理想与L-理想结构分析L(X,Y)与K(X,Y)的几何性质。
• 利用如下事实：若K(X,Y)是L(X,Y)中的M-理想，则K(X,Y)在L(X,Y)*中的正交补是其对偶空间中的L-直和。
• 应用通过范数取值泛函的唯一性及范数取值集合MT的结构刻画光滑性的方法。
• 依赖于范数取值序列的存在性以及在范数取值向量处使用支撑泛函，推导出正交性与光滑性的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 当K(X,Y)是L(X,Y)中的M-理想时，算子T ∈ L(X,Y)在何种条件下与另一算子A近似Birkhoff-James正交？
• RQ2 T的范数取值集合MT的结构以及T到K(X,Y)的距离如何影响T的光滑性？
• RQ3 当K(X,Y)是L(X,Y)中的M-理想时，T ∈ L(X,Y)的光滑性必要条件能否推广至非自反空间？
• RQ4 在M-理想假设下，T的光滑性与T x0在目标空间Y中的光滑性之间存在何种关系？
• RQ5 当MT = {±x0}且T x0在Y中光滑时，dist(T, K(X,Y)) < ||T||是否为T光滑性的必要且充分条件？

主要发现

• 通过紧算子空间对偶空间上的极端泛函，建立了任意巴拿赫空间之间紧算子的近似Birkhoff-James正交性（⊥ǫ_D）的刻画。
• 对于满足||T|| = 1且dist(T, K(X,Y)) < 1的T ∈ L(X,Y)，有T ⊥ǫ_B A当且仅当存在x1, x2 ∈ MT ∩ Ext(BX)，使得对所有λ ≥ 0，有||Tx1 + λAx1||² ≥ ||T||² - 2ǫ||T||||λA||，且对所有λ ≤ 0，有||Tx2 + λAx2||² ≥ ||T||² - 2ǫ||T||||λA||。
• 当K(X,Y)是L(X,Y)中M-理想时，T ∈ L(X,Y)的光滑性被刻画：T光滑当且仅当MT = {±x0}，T x0是Y中的光滑点，且dist(T, K(X,Y)) < ||T||。
• 当X为自反空间且K(X,Y)是L(X,Y)中M-理想时，T的光滑性必要条件——即MT = {±x0}，T x0在Y中光滑，且dist(T, K(X,Y)) < ||T||——被证明是充分的。
• 本文通过Birkhoff-James正交性结构与M-理想性质，给出了Grz¸a´slewicz与Younis关于L(ℓp, E)中光滑性的结果的另一种证明。
• 本文表明，光滑算子未必达到其范数，并在M-理想条件下给出了一个反例，以反驳光滑性蕴含范数达到的观念。