[论文解读] Approximating Nash Social Welfare under Submodular Valuations through (Un)Matchings

Jugal Garg, Pooja Kulkarni+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2019

Game Theory and Voting Systems被引用 5

一句话总结

本文提出了两种新颖的近似算法——针对具有加法估值的非对称代理人的 SMatch，以及针对具有子模估值的 RepReMatch——分别实现了 $O(n)$ 和 $O(nackepsilon n)$ 的近似因子，且该因子与物品数量无关。这些算法采用一种贪心重复匹配框架，通过解除和重新匹配高价值物品来优化结果，SMatch 还进一步保证了在一项物品上无 envy（EF1）的公平性。

ABSTRACT

We study the problem of approximating maximum Nash social welfare (NSW) when allocating m indivisible items among n asymmetric agents with submodular valuations. The NSW is a well-established notion of fairness and efficiency, defined as the weighted geometric mean of agents' valuations. For special cases of the problem with symmetric agents and additive(-like) valuation functions, approximation algorithms have been designed using approaches customized for these specific settings, and they fail to extend to more general settings. Hence, no approximation algorithm with factor independent of m is known either for asymmetric agents with additive valuations or for symmetric agents beyond additive(-like) valuations. In this paper, we extend our understanding of the NSW problem to far more general settings. Our main contribution is two approximation algorithms for asymmetric agents with additive and submodular valuations respectively. Both algorithms are simple to understand and involve non-trivial modifications of a greedy repeated matchings approach. Allocations of high valued items are done separately by un-matching certain items and re-matching them, by processes that are different in both algorithms. We show that these approaches achieve approximation factors of O(n) and O(n log n) for additive and submodular case respectively, which is independent of the number of items. For additive valuations, our algorithm outputs an allocation that also achieves the fairness property of envy-free up to one item (EF1). Furthermore, we show that the NSW problem under submodular valuations is strictly harder than all currently known settings with an e/(e-1) factor of the hardness of approximation, even for constantly many agents. For this case, we provide a different approximation algorithm that achieves a factor of e/(e-1), hence resolving it completely.

研究动机与目标

• 解决在非对称代理人具有加法估值时，缺乏与物品数量无关的近似因子的近似算法的问题。
• 将对纳什社会福利（NSW）的理解从对称代理人和类似加法的估值函数扩展至更广泛的情境。
• 设计简单而高效的算法，以处理一般性的子模估值和非对称的代理人权重。
• 为子模 NSW 问题建立紧致的近似保证与难解性结果。
• 在非对称 NSW 近似背景下，研究诸如 EF1 等公平性属性。

提出的方法

• 提出 SMatch，一种基于贪心重复匹配的算法，通过解除和重新匹配高价值物品，适用于加法估值。
• 引入 RepReMatch，作为 SMatch 的变体，专为子模估值设计，采用重复匹配与动态重分配机制。
• 以加权几何平均形式定义 NSW 为目标函数，引入代理人权重 $\eta_i$。
• 在每次迭代中应用最大权重匹配过程，优先考虑高价值分配，同时保持公平性与效率。
• 引入解除步骤以纠正次优分配，从而提升整体 NSW 近似质量。
• 通过物品分配结构分析与估值子模性的结合，证明近似界。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否为具有加法估值的非对称代理人设计一种近似算法，使其近似因子与物品数量无关？
• RQ2 是否存在对子模估值下 NSW 近似的推广，同时保持良好的近似因子？
• RQ3 非对称子模 NSW 问题的内在难解性如何？能否通过一个紧致的近似算法解决？
• RQ4 SMatch 算法在对称设置下的性能是否优于非对称设置？
• RQ5 在具有加法估值的非对称代理人中，EF1 等公平性保证是否可在 NSW 近似中得以保持？

主要发现

• SMatch 为具有加法估值的非对称代理人实现了 $O(n)$ 的近似因子，且与物品数量 $m$ 无关。
• RepReMatch 为具有子模估值的非对称代理人实现了 $O(n\log n)$ 的近似因子，同样与 $m$ 无关。
• SMatch 算法在加法估值情形下保证了 EF1（在一项物品上无 envy）的公平性。
• 对于固定数量的代理人，本文提供了紧致的 $\frac{e}{e-1}$ 近似算法，与已知的近似难解性一致。
• 结果表明，子模 NSW 问题比此前所有研究设置都更难，其难解因子为 $\frac{e}{e-1}$。
• 一个实例表明，SMatch 的近似比在最坏情况下可接近 $2/n$，暗示 $O(n)$ 的界在常数因子内是紧致的。