[论文解读] Approximating the Permanent via Nonabelian Determinants

Cristopher Moore, Alexander Russell|ArXiv.org|Jun 9, 2009

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 7被引用 22

一句话总结

本文研究了使用非交换代数中的行列式来代数逼近 {0,1} 矩阵的永久值的方法，特别关注 d×d 矩阵代数和群代数。研究发现，虽然非对称化行列式给出的临界比为 (1+O(1/d))^n，但对称化行列式估计器的临界比为 Ω(2^n / n^O(d))，表明该方法在多项式时间近似方案中面临重大障碍。

ABSTRACT

Celebrated work of Jerrum, Sinclair, and Vigoda has established that the permanent of a {0,1} matrix can be approximated in randomized polynomial time by using a rapidly mixing Markov chain. A separate strand of the literature has pursued the possibility of an alternate, purely algebraic, polynomial-time approximation scheme. These schemes work by replacing each 1 with a random element of an algebra A, and considering the determinant of the resulting matrix. When A is noncommutative, this determinant can be defined in several ways. We show that for estimators based on the conventional determinant, the critical ratio of the second moment to the square of the first--and therefore the number of trials we need to obtain a good estimate of the permanent--is (1 + O(1/d))^n when A is the algebra of d by d matrices. These results can be extended to group algebras, and semi-simple algebras in general. We also study the symmetrized determinant of Barvinok, showing that the resulting estimator has small variance when d is large enough. However, for constant d--the only case in which an efficient algorithm is known--we show that the critical ratio exceeds 2^{n} / n^{O(d)}. Thus our results do not provide a new polynomial-time approximation scheme for the permanent. Indeed, they suggest that the algebraic approach to approximating the permanent faces significant obstacles. We obtain these results using diagrammatic techniques in which we express matrix products as contractions of tensor products. When these matrices are random, in either the Haar measure or the Gaussian measure, we can evaluate the trace of these products in terms of the cycle structure of a suitably random permutation. In the symmetrized case, our estimates are then derived by a connection with the character theory of the symmetric group.

研究动机与目标

• 评估基于非阿贝尔行列式的代数估计器在多项式时间近似永久值的可行性。
• 分析当矩阵元素被替换为非交换代数中的随机元素时，基于行列式的估计器的方差。
• 从临界比（二阶矩除以一阶矩的平方）的角度，比较非对称化与对称化行列式的性能。
• 确定代数方法是否能实现对永久值的次指数或多项式时间近似，特别是当代数维数 d 较小时。
• 研究群代数和半单代数在构造永久值低方差估计器中的作用。

提出的方法

• 使用图示技术将矩阵积表示为张量积的收缩，通过随机置换的环结构实现迹的计算。
• 对非交换代数中的随机矩阵应用哈尔测度和高斯测度，利用置换的组合性质计算乘积的期望。
• 依赖对称群的特征理论分析对称化行列式估计器，特别是在 d 较大的情况下。
• 定义了两种估计器：传统的非对称化行列式和巴尔维诺克的对称化行列式，两者均通过随机矩阵代入来估计永久值。
• 通过迹和范数的矩分析，计算两种估计器的临界比 E[X²]/E[X]²，并通过图示重布线将弗罗贝尼乌斯范数估计器与迹平方估计器关联起来。
• 通过分析张量收缩图中的环结构，推导出临界比的界，表明每次重布线最多改变一个环。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用非交换代数中的行列式在多项式时间内逼近 {0,1} 矩阵的永久值？
• RQ2 基于行列式的估计器的临界比如何随代数维数 d 变化，特别是当 d=O(1) 与 d 增大时？
• RQ3 巴尔维诺克提出的对称化行列式估计器能否为永久值提供多项式时间近似方案？
• RQ4 当矩阵元素从 d×d 矩阵代数或群代数中抽取时，代数估计器的方差行为如何？
• RQ5 图示法和群论方法能否用于界定高阶矩，并为基于行列式的估计器建立集中测度？

主要发现

• 在 d×d 矩阵代数上，非对称化行列式估计器的临界比为 (1+O(1/d))^n，当 d 增大时变为次指数级。
• 当 d=O(1) 时，对称化行列式估计器的临界比为 Ω(2^n / n^O(d))，表明即使估计器可高效计算，方差仍为指数级。
• 当 d 为常数时，对称化估计器的临界比超过 2^n / n^O(d)，表明此类估计器不适合用于多项式时间近似方案。
• 弗罗贝尼乌斯范数估计器 X_Frob 的矩在 d^2 因子范围内与迹平方估计器相当，意味着在最坏情况下具有相似的方差量级。
• 图示重布线技术表明，从迹平方到弗罗贝尼乌斯范数估计器的转换，每次移动最多改变一个环，这为矩界中的 d^2 因子提供了合理性。
• 结果表明，代数方法在逼近永久值时面临根本性障碍，尤其当 d 为常数时，需要更高维的代数才能实现更好的集中性。