[论文解读] Approximation hardness of Shortest Common Superstring variants

Yun William Yu|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2016

Algorithms and Data Compression参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文建立了短公共超串（SCS）问题变种的新近似难度结果：含负字符串的SCS（SCSN）被证明为Log-APX难（因此为Log-APX完全），而含负字符串与通配符的SCS（SCSNW）被证明为NPOPB难。这些结果分别通过从最小集合覆盖和最小一元3SAT问题的归约获得，扩展了对基因组组装相关字符串问题中可近似性极限的理解。

ABSTRACT

The shortest common superstring (SCS) problem has been studied at great length because of its connections to the de novo assembly problem in computational genomics. The base problem is APX-complete, but several generalizations of the problem have also been studied. In particular, previous results include that SCS with Negative strings (SCSN) is in Log-APX (though there is no known hardness result) and SCS with Wildcards (SCSW) is Poly-APX-hard. Here, we prove two new hardness results: (1) SCSN is Log-APX-hard (and therefore Log-APX-complete) by a reduction from Minimum Set Cover and (2) SCS with Negative strings and Wildcards (SCSNW) is NPOPB-hard by a reduction from Minimum Ones 3SAT.

研究动机与目标

• 为含负字符串和通配符的SCS变种建立更强的不可近似性界，这些变种与计算基因组学密切相关。
• 填补SCS变种复杂性图谱中的空白，特别是针对SCSN和SCSNW，此前其难度结果未知或不完整。
• 将现有从顶点覆盖和图染色数等NP难问题出发的归约方法，扩展至含负字符串和通配符的SCS变种。
• 通过证明SCSNW为NPOPB难，而SCSN仍处于Log-APX类，表明SCSNW比SCSN显著更难。

提出的方法

• 通过从最小集合覆盖问题的归约，证明SCSN为Log-APX难，复用了先前SCS归约中已有的重叠字符串构件。
• 构建了一种新颖的从最小一元3SAT问题到SCSNW的归约，使用专门设计的框架、变量和子句构件，结合通配符与负字符串。
• 框架构件利用负字符串强制对超串施加结构约束，例如强制特定起始字符，并防止变量构件在未正确对齐时发生重叠。
• 变量构件的设计使得将变量设为真时，其整个字符串将向右移动，每项此类变量产生3n的长度代价，从而建模最小化真变量数的目标。
• 子句构件利用负字符串排除所有文字为假的配置，确保至少一个变量为真才能满足子句。
• 整体构造为多项式时间，并被归一化为L-归约，从而保持源问题的近似难度。

实验结果

研究问题

• RQ1 已知SCSN属于Log-APX类，它是否为Log-APX难？
• RQ2 已知SCSW为Poly-APX难，SCSN属于Log-APX类，那么含负字符串与通配符的SCS（SCSNW）的可近似性类是什么？
• RQ3 能否通过从已知难问题（如最小一元3SAT）的归约来建立SCSNW的难度？
• RQ4 负字符串与通配符的组合是否使SCS问题显著比单独使用任一特征更复杂？
• RQ5 SCSN中通配符的存在是否能带来更强的难度结果，还是该问题仍可在Log-APX内求解？

主要发现

• SCSN为Log-APX难，且由于其已知属于Log-APX类，因此为Log-APX完全。
• SCSNW为NPOPB难，表明其属于NPOPB复杂性类中最难的问题之一。
• 从最小一元3SAT到SCSNW的归约是L-归约，保持了近似难度，确认SCSNW为NPOPB难。
• SCSNW实例的构造需要O(n⁵)次操作，使用大小为4的常数字母表，负字符串与通配符被战略性地放置以强制实施约束。
• SCSNW实例中超串的长度为2 + 9n + 3nW，其中W为最小一元3SAT解中真变量的数量，表明解的代价与超串长度之间存在直接对应关系。
• 证明表明SCSNW比SCSN更难，因为SCSNW的归约要求每条字符串中包含Ω(n)个通配符，而这一要求在SCSN的相同约束下无法实现。