[论文解读] Approximation of martingale couplings on the line in the weak adapted topology

Mathias Beiglböck, Benjamin Jourdain+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2021

Stochastic processes and financial applications参考文献 41被引用 4

一句话总结

本文在适应弱拓扑下建立了实直线上鞅耦合的稳定性，证明了在凸序意义下，对占位分布的小扰动将导致相应鞅耦合的小扰动。关键贡献在于对鞅最优传输中经典耦合稳定性的严格证明，其依赖于适应Wasserstein距离的新稳定性结果，对稳健金融和最优Skorokhod嵌入具有重要意义。

ABSTRACT

Our main result is to establish stability of martingale couplings: suppose that $\\pi$ is a martingale coupling with marginals $\\mu, \ u$. Then, given approximating marginal measures $\ ilde \\mu \\approx \\mu, \ ilde \ u\\approx \ u$ in convex order, we show that there exists an approximating martingale coupling $\ ilde\\pi \\approx \\pi$ with marginals $\ ilde \\mu, \ ilde \ u$. In mathematical finance, prices of European call / put option yield information on the marginal measures of the arbitrage free pricing measures. The above result asserts that small variations of call / put prices lead only to small variations on the level of arbitrage free pricing measures. While these facts have been anticipated for some time, the actual proof requires somewhat intricate stability results for the adapted Wasserstein distance. Notably the result has consequences for a several related problems. Specifically, it is relevant for numerical approximations, it leads to a new proof of the monotonicity principle of martingale optimal transport and it implies stability of weak martingale optimal transport as well as optimal Skorokhod embedding. On the mathematical finance side this yields continuity of the robust pricing problem for exotic options and VIX options with respect to market data. These applications will be detailed in two companion papers.

研究动机与目标

• 通过在占位分布弱收敛下建立鞅耦合的稳定性，弥合鞅最优传输中的基础性空白。
• 为标准最优传输耦合的古典稳定性结果在鞅传输中提供对应结果。
• 实现对奇异和VIX期权的模型无关定价中稳健的数值近似与稳定性分析。
• 支持弱鞅最优传输中单调性原理的发展，类似于经典传输中的循环单调性。
• 通过适应Wasserstein距离的稳定性，拓展最优Skorokhod嵌入和弱鞅最优传输的理论框架。

提出的方法

• 以适应Wasserstein距离（AW1）作为关键度量，衡量适应弱拓扑中鞅耦合的收敛性。
• 通过将扰动后的占位分布与条件分解及正则化技术结合，构造近似鞅耦合。
• 使用一系列紧支集近似和截断论证，控制耦合在无界区域上的行为。
• 采用含参数ε的扰动论证，平衡原始耦合π与正则化版本π^{R,α}之间的关系，确保在AW1距离下的收敛性。
• 运用粘合引理和三角不等式，界定近似耦合与目标耦合之间的适应Wasserstein距离。
• 依赖凸序条件ν^{R,α} ≤_c ν以确保在扰动占位分布之间存在鞅耦合，使用文献[37]中的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将标准最优传输耦合的古典稳定性结果扩展到实直线上鞅设置？
• RQ2 在适应弱拓扑下，鞅耦合的占位分布发生小扰动是否会导致耦合本身的小扰动？
• RQ3 当保持鞅约束时，适应Wasserstein距离在占位分布扰动下是否稳定？
• RQ4 鞅最优传输中的单调性原理能否从适应Wasserstein距离的稳定性性质中推导得出？
• RQ5 该稳定性对数学金融中奇异和VIX期权的稳健定价有何影响？

主要发现

• 本文证明：对于任意具有占位分布μ, ν的鞅耦合π，以及任意满足凸序的序列μ^k → μ, ν^k → ν，存在一列鞅耦合π^k ∈ Π_M(μ^k, ν^k)，使得π^k → π在适应弱拓扑下收敛。
• 收敛性通过适应Wasserstein距离量化：当k → ∞时，AW1(π^k, π) → 0，从而在占位分布弱收敛下建立了稳定性。
• 该结果意味着奇异期权和VIX期权的鲁棒定价问题相对于市场数据是连续的，因为期权价格的小变化（反映占位测度）将导致无套利定价测度集合的小变化。
• 该稳定性结果为鞅最优传输中单调性原理提供了新证明，类似于经典传输中的循环单调性。
• 该方法即使在占位分布被扰动时，也确立了近似鞅耦合的存在性，结合了截断、正则化和粘合技术。
• 该结果在高维情况下不成立，如Brückerhoff和Juillet所展示，凸显了一维设置在鞅最优传输中的特殊作用。