[论文解读] Dense sets of joint distributions appearing in filtration enlargements, stochastic control, and causal optimal transport

Daniel Lacker|arXiv (Cornell University)|May 8, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 38被引用 7

一句话总结

本文建立了概率论中经典逼近结果的动态类比，表明在非原子性与相容性条件下，随机过程 $(X,Y)$ 可以在分布上被逼近为 $(X',Y)$，其中 $X'$ 适应于由 $Y$ 生成的过滤。关键贡献在于提出了一套路径逼近框架，从而在随机控制和因果最优传输中实现条件放松。

ABSTRACT

It is well known that any pair of random variables $(X,Y)$ with values in Polish spaces, provided that $Y$ is nonatomic, can be approximated in joint law by random variables of the form $(X',Y)$ where $X'$ is $Y$-measurable. This article surveys and extends some recent dynamic analogues of this result. For example, if $X$ and $Y$ are stochastic processes in discrete or continuous time, then, under a nonatomic assumption as well as a necessary and sufficient compatibility condition, one can approximate $(X,Y)$ in law in path space by processes of the form $(X',Y)$, where $X'$ is adapted to the filtration generated by $Y$. A similar approximation is valid for randomized stopping times. Natural applications include relaxations of (mean field) stochastic control and causal optimal transport problems as well as new characterizations of the immersion property for progressively enlarged filtrations.

研究动机与目标

• 将经典联合分布逼近结果扩展至连续时间随机过程，考虑动态与路径约束。
• 通过过滤适应性强制因果性，解决在随机控制与最优传输中逼近非马尔可夫依赖关系的挑战。
• 为放松均场随机控制与因果最优传输问题中的因果约束提供理论基础。
• 通过逼近技术表征逐步扩张过滤中的内浸性质。
• 通过路径逼近统一并推广随机停止时间与过滤扩张的相关结果。

提出的方法

• 在过程 $Y$ 上采用非原子性假设，以确保逼近所需的充分随机性。
• 应用 $X$ 与 $Y$ 之间的必要且充分相容性条件，以保证适应于 $\mathcal{F}^Y_t$ 的逼近过程 $X'$ 的存在性。
• 在路径空间中采用弱收敛，以逼近 $(X,Y)$ 的联合分布为 $(X',Y)$，其中 $X'$ 为 $\mathcal{F}^Y$-适应。
• 将该框架扩展至随机停止时间，表明在可选时间背景下具有类似的逼近性质。
• 利用过滤逐步扩张的结构，推导出内浸性质的表征。
• 将逼近框架应用于放松最优传输与随机控制中的因果约束，允许 $X'$ 为 $Y$-可测。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，一对随机过程 $(X,Y)$ 可以在分布上被逼近为 $(X',Y)$，其中 $X'$ 适应于 $\mathcal{F}^Y$？
• RQ2 $X$ 与 $Y$ 之间的相容性条件如何影响此类逼近的可行性与质量？
• RQ3 该逼近框架能否扩展至过滤扩张背景下的随机停止时间？
• RQ4 该逼近对均场随机控制中因果约束的放松有何影响？
• RQ5 该方法如何为逐步扩张过滤中的内浸性质提供新的表征？

主要发现

• 在非原子性假设与必要且充分的相容性条件下，$(X,Y)$ 的联合分布可在路径空间中被逼近为 $(X',Y)$，其中 $X'$ 适应于 $\mathcal{F}^Y$。
• 该逼近框架使得在均场随机控制中放松因果约束成为可能，通过允许 $X'$ 为 $Y$-可测。
• 该方法通过路径逼近为逐步扩张过滤中的内浸性质提供了新表征。
• 结果可扩展至随机停止时间，表明在类似条件下此类时间同样可在分布上被逼近。
• 该框架统一并推广了现有关于过滤扩张、随机控制与因果最优传输的结果。
• 该逼近在路径空间上弱收敛的分布意义下是稠密的，确保其在连续时间模型中的广泛应用。