[论文解读] Approximation of Mean Field Games to N-Player Stochastic Games, with Singular Controls

Haoyang Cao, Xin Guo+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 44被引用 8

一句话总结

本文证明，具有有界速度和有限变差控制的N人随机博弈，可由具有有界速度控制的平均场博弈（MFG）近似。它证明了具有有界速度控制的MFG均衡是N人博弈的𝜖_N-纳什均衡（𝜖_N = O(1/√N)），而对于有限变差控制，则为(𝜖_N + 𝜖_𝜃)-纳什均衡，其中𝜖_𝜃依赖于速度上限θ，从而将经典MFG近似推广至不连续控制情形。

ABSTRACT

This paper establishes that $N$-player stochastic games with singular controls, either of bounded velocity or of finite variation, can both be approximated by mean field games (MFGs) with singular controls of bounded velocity. More specifically, it shows i) the optimal control to an MFG with singular controls of a bounded velocity $θ$ is shown to be an $ε_N$-NE to an $N$-player game with singular controls of the bounded velocity, with $ε_N = O(\frac{1}{\sqrt{N}})$, and (ii) the optimal control to this MFG is an $(ε_N + ε_θ)$-NE to an $N$-player game with singular controls of finite variation, where $ε_θ$ is an error term that depends on $θ$. This work generalizes the classical result on approximation $N$-player games by MFGs, by allowing for discontinuous controls.

研究动机与目标

• 将经典平均场博弈（MFG）对N人随机博弈的近似理论扩展至奇异控制情形。
• 解决现有MFG理论依赖于光滑（绝对连续）控制的问题，而许多现实世界控制问题涉及不连续或奇异控制。
• 表明具有有界速度奇异控制的MFG可作为具有有界速度和有限变差N人博弈的有效近似。
• 以纳什均衡近似误差为度量，建立误差界，量化收敛速度为有界速度情形下的O(1/√N)，有限变差情形下的O(1/√N) + 𝜖_𝜃。
• 证明尽管有界速度奇异控制本身是奇异的，但其仍具有优于有限变差控制的分析优势，使MFG分析保持可处理性。

提出的方法

• 通过在适当假设下，建立有界速度奇异控制问题的值函数向有限变差奇异控制问题值函数收敛的分析。
• 利用可容纳不连续控制的框架，证明具有有界速度奇异控制的MFG解的存在性、唯一性与正则性。
• 借助大数定律与混沌传播等论证，将N人博弈状态的经验分布与MFG中的平均场测度联系起来。
• 应用扰动论证，比较具有有界速度控制的MFG值函数与N人博弈的值函数，利用成本函数与漂移函数的Lipschitz连续性。
• 在MFG中的最优控制与N人博弈中扰动控制之间建立比较，表明偏离MFG策略仅导致O(1/√N)的成本损失。
• 通过N人系统与MFG系统之间的耦合论证，证明状态过程以O(1/√N)的速率在期望下收敛，从而支撑纳什均衡近似。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有有界速度奇异控制的平均场博弈能否近似具有有界速度奇异控制的N人随机博弈？误差率如何？
• RQ2 此类MFG是否也能近似具有有限变差奇异控制的N人博弈？控制类型差异带来的额外误差为何？
• RQ3 当控制为不连续且奇异时，经典MFG近似中的O(1/√N)收敛速率是否仍然成立？
• RQ4 具有有界速度奇异控制的MFG框架能否作为大规模人群博弈中更复杂有限变差奇异控制问题的可处理代理？
• RQ5 从有界速度控制过渡到有限变差控制时，速度上限θ在近似误差中起何作用？

主要发现

• 具有有界速度奇异控制的MFG中的最优控制，是对应具有有界速度控制的N人博弈的𝜖_N-纳什均衡，其中𝜖_N = O(1/√N)。
• 同一MFG控制也是具有有限变差奇异控制的N人博弈的(𝜖_N + 𝜖_𝜃)-纳什均衡，其中𝜖_𝜃是依赖于速度上限θ的误差项。
• 在适当假设下，有界速度奇异控制问题的值函数收敛于有限变差问题的值函数，建立了两类控制之间的桥梁。
• N人系统与MFG之间状态过程的收敛速度在期望下为O(1/√N)，这驱动了纳什均衡近似误差。
• 分析证实，尽管有界速度奇异控制是奇异的，但其分析可处理性优于有限变差控制，同时仍能对两类N人博弈提供精确近似。
• 本研究通过引入不连续控制，推广了经典MFG近似理论，扩大了MFG在具有非规则控制动态的工程与经济模型中的适用范围。