[论文解读] Approximation of Reeb spaces with Mappers and Applications to Stochastic Filters.

Mathieu Carrière, Bertrand Michel|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2019

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于Mapper的新型估计器，用于在多变量设置下近似Reeb空间，其中滤波函数映射到ℝᵈ。该方法在交错距离的伪度量扩展下建立了收敛性，并将该框架应用于滤波函数的统计估计，展示了在数据分析情境中的理论和数值有效性。

ABSTRACT

Reeb spaces, as well as their discretized versions called Mappers, are common descriptors used in Topological Data Analysis, with plenty of applications in various fields of science, such as computational biology and data visualization, among others. The stability and quantification of the rate of convergence of the Mapper to the Reeb space has been studied a lot in recent works~\cite{Brown2019, Carriere2018a, Carriere2018, Munch2016}, focusing on the case where a scalar-valued filter is used for the computation of Mapper. On the other hand, much less is known in the multivariate case, where the domain of the filter is in $\mathbb R^d$ instead of $\mathbb R$. The only available result in this setting~\cite{Munch2016} only works for topological spaces and cannot be used as is for finite metric spaces representing data, such as point clouds and distance matrices. In this article, we present an approximation result for the Reeb space in the multivariate case using a Mapper-based estimator, which is a slight modification of the usual Mapper construction. Moreover, our approximation is stated with respect to a pseudometric that is an extension of the usual {\em interleaving distance} between persistence modules~\cite{Chazal2016}. Finally, we apply our results to the case where the filter function used to compute the Mapper is estimated from the data. We provide applications of this setting in statistics and machine learning and probability for different kinds of target filters, as well as numerical experiments that demonstrate the relevance of our approach.

研究动机与目标

• 为解决在有限度量空间中使用Mapper对多变量Reeb空间近似时缺乏理论收敛结果的问题。
• 将交错距离框架扩展至ℝᵈ上的持久性模组，以度量近似误差。
• 开发一种基于Mapper的估计器，当滤波函数从数据中估计时，该估计器具有稳定性和收敛性。
• 为多变量情况下Reeb空间的近似提供理论保证，此前的结果仅限于标量滤波或拓扑空间。
• 通过在统计学、机器学习和概率论中的应用，展示其实用相关性，并通过数值验证。

提出的方法

• 提出一种专为映射到ℝᵈ的多变量滤波函数定制的改进Mapper构造。
• 定义一种在Reeb空间上的伪度量，将标准交错距离推广至多变量设置。
• 使用ℝᵈ上的持久性模组来表示拓扑特征，并通过扩展的伪度量度量近似误差。
• 将估计器应用于滤波函数从数据中估计的情形，如点云或距离矩阵。
• 通过将真实Reeb空间与Mapper近似之间的伪度量距离与采样密度和滤波估计误差相关联，建立收敛速率。
• 通过数值实验在合成数据和真实世界数据上验证理论结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 当滤波函数为多变量（即映射到ℝᵈ）而非标量值时，如何一致地近似Reeb空间？
• RQ2 在多变量情况下，可使用何种伪度量来度量Reeb空间之间的距离，以扩展标准交错距离？
• RQ3 改进的Mapper构造能否在具有多变量滤波的有限度量空间中，为Reeb空间近似提供理论收敛保证？
• RQ4 滤波函数的估计误差如何影响Reeb空间近似的准确性？
• RQ5 所提出的框架在统计学和机器学习应用中的实际影响和数值性能如何？

主要发现

• 所提出的基于Mapper的估计器在多变量设置下，于交错距离的伪度量扩展下实现了向真实Reeb空间的收敛。
• 该理论框架可直接应用于有限度量空间（如点云和距离矩阵），克服了先前工作仅限于拓扑空间的局限性。
• 近似误差由采样密度和滤波函数估计误差定量界定，提供了收敛速率。
• 数值实验在各种数据类型和滤波估计场景中均证实了该方法的稳定性和准确性。
• 该方法在多变量设置下实现了可靠的拓扑数据分析，适用于统计学和机器学习中滤波函数从数据中推断的应用场景。
• 该框架扩展了Mapper在复杂、高维数据分析任务中的适用性，并具备理论严谨性。