[论文解读] Approximation Schemes for the Betweenness Problem in Tournaments and Related Ranking Problems

Marek Karpiński, Warren Schudy|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2009

Game Theory and Voting Systems参考文献 18被引用 8

一句话总结

本文首次为锦标赛中的最小中间问题（Minimum Betweenness problem）及其相关脆弱排名约束满足问题（CSPs）提出了多项式时间近似方案（PTAS）。通过引入一种新颖的技术来处理脆弱约束，并结合分桶排序与随机舍入，作者在确保输出排名与最优排名在Kendall-Tau距离上接近的同时，实现了(1+ε)-近似，从而解决了在锦标赛排名近似算法领域长期存在的开放问题。

ABSTRACT

We design the first polynomial time approximation schemes (PTASs) for the Minimum Betweenness problem in tournaments and some related higher arity ranking problems. This settles the approximation status of the Betweenness problem in tournaments along with other ranking problems which were open for some time now. The results depend on a new technique of dealing with fragile ranking constraints and could be of independent interest.

研究动机与目标

• 解决在锦标赛中设计最小中间问题多项式时间近似方案（PTAS）的开放问题。
• 将PTAS推广至更广泛的排名问题类别，特别是脆弱和弱脆弱k元CSP问题。
• 确保输出排名不仅成本可控，而且在Kendall-Tau距离上接近最优排名。
• 提供一个统一的框架来处理脆弱排名约束，该框架在组合优化领域可能具有独立兴趣。

提出的方法

• 引入一类新的脆弱排名k-CSP问题，其中约束无法通过单个顶点交换来满足，从而实现结构化的近似。
• 使用包含O(1/ε)个位置的分桶排序来离散化解空间，同时保持近似保证。
• 通过随机舍入从一组候选排序中选择一个排名，每个候选排序均基于对顶点子集的基准排序生成。
• 利用“弱脆弱性”概念，将结果扩展至k元中间锦标赛问题（BetweennessTour），其中要求端点顶点约束。
• 分别使用关于逆序数和顶点子集上约束违反次数的组合界，对成本和Kendall-Tau距离进行分析。
• 通过穷举检查所有随机选择来实现算法的去随机化，同时保持PTAS保证。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为锦标赛中的最小中间问题设计出PTAS，该问题此前难以实现常数因子近似？
• RQ2 该方法能否推广至标准三元中间约束之外的更高元排名问题？
• RQ3 是否能够同时实现低代价与在Kendall-Tau距离上接近最优排名？
• RQ4 对于无法通过单个顶点移动将一个满足赋值转换为另一个的脆弱约束，是否能实现高效的近似方案？

主要发现

• 本文首次为锦标赛中的最小中间问题（BetweennessTour）提出了PTAS，解决了先前工作中遗留的开放问题。
• 在锦标赛中所有脆弱排名k-CSP问题（包括推广反馈弧集至高元的k-FAST问题）均建立了PTAS。
• 对于弱脆弱问题（如带有端点顶点约束的k元BetweennessTour），同样实现了PTAS，将框架扩展至更广泛的约束类型。
• 该算法保证：在2~O(1/ε)个输出排名中，至少有一个排名的代价至多为(1+O(ε))OPT，且与最优排名的Kendall-Tau距离为O(poly(1/ε)·OPT / n^{k-2})。
• 对于任意固定的ε>0，运行时间在n上为多项式时间，且算法可去随机化而不损失近似保证。
• 分析表明，即使OPT小至ε⁴n^k，输出排名的代价仍可被控制在(1+O(ε))OPT以内，通过限制在精心选择的子集U外具有0、1或2+个顶点的约束的贡献来实现。