[论文解读] Faster Algorithms for Feedback Arc Set Tournament, Kemeny Rank Aggregation and Betweenness Tournament

Marek Karpiński, Warren Schudy|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2010

Multi-Criteria Decision Making被引用 22

一句话总结

本文通过利用最优代价 OPT 参数，为三个 NP-难排名问题——反馈弧集锦标赛、Kemeny 秩聚合和中间性锦标赛——提出了更高效的固定参数算法。它在所有三个问题上均实现了 $O^{*}(2^{O(\sqrt{OPT})})$ 的时间复杂度，显著优于先前的界限，并与指数时间假设（ETH）的下界相匹配，从而在 $\text{OPT} \leq n(\log n)^2$ 时实现多项式时间解法。其关键创新在于一种新颖的动态规划方法，结合有界扰动分析，以及基于接近最优解的参数化搜索策略。

ABSTRACT

We study fixed parameter algorithms for three problems: Kemeny rank aggregation, feedback arc set tournament, and betweenness tournament. For Kemeny rank aggregation we give an algorithm with runtime O*(2^O(sqrt{OPT})), where n is the number of candidates, OPT is the cost of the optimal ranking, and O* hides polynomial factors. This is a dramatic improvement on the previously best known runtime of O*(2^O(OPT)). For feedback arc set tournament we give an algorithm with runtime O*(2^O(sqrt{OPT})), an improvement on the previously best known O*(OPT^O(sqrt{OPT})) (Alon, Lokshtanov and Saurabh 2009). For betweenness tournament we give an algorithm with runtime O*(2^O(sqrt{OPT/n})), where n is the number of vertices and OPT is the optimal cost. This improves on the previously known O*(OPT^O(OPT^{1/3}))$ (Saurabh 2009), especially when OPT is small. Unusually we can solve instances with OPT as large as n (log n)^2 in polynomial time!

研究动机与目标

• 为三个基础排名问题——反馈弧集锦标赛、Kemeny 秩聚合和中间性锦标赛——开发更高效的固定参数算法。
• 将固定参数算法中对最优代价 $\text{OPT}$ 的指数依赖从 $2^{O(\text{OPT})}$ 降低至 $2^{O(\sqrt{\text{OPT}})}$。
• 通过在指数时间假设（ETH）下证明匹配的下界，建立紧致的参数化复杂度界限。
• 在 $\text{OPT} \leq n(\log n)^2$ 的情况下实现多项式时间解法，这一情形在先前方法下被认为难以处理。

提出的方法

• 提出一种新颖的动态规划框架，将搜索空间限制在候选解 $\pi^1$ 的有界扰动半径 $r(v)$ 内，确保仅考虑相关排列。
• 采用参数化搜索策略，识别出一个排名 $\pi^1$，满足 $d(\pi^1, \pi^*) = O(\sqrt{\text{OPT}/n})$ 且 $C(\pi^1) \leq 2C(\pi^*)$，其中 $\pi^*$ 为最优解。
• 定义一个代价函数 $C^\prime(\pi)$，用于捕捉仅涉及子集 $S$ 中顶点的约束所关联的总代价部分，从而在动态规划中实现最优子结构。
• 应用动态规划的分治变体，将空间复杂度降低至 $|V|^{O(1)}$，同时保持 $|V|^{O(\psi)}$ 的时间复杂度，其中 $\psi = \max_j |\{v : |\pi^1(v) - j| \leq r(v)\}|$。
• 利用三角不等式和锦标赛的结构特性，界定出可能显著偏离最优排名的顶点数量。
• 通过基于 $b(\pi, v, j+1/2)$ 差异推导出的扰动界限，证明正确性：即最优解 $\pi^*$ 始终位于动态规划的搜索空间内。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将反馈弧集锦标赛固定参数算法中对 $\text{OPT}$ 的指数依赖从 $2^{O(\text{OPT})}$ 降低至 $2^{O(\sqrt{\text{OPT}})}$？
• RQ2 是否可能实现 $O^{*}(2^{O(\sqrt{\text{OPT}})})$ 的时间复杂度求解 Kemeny 秩聚合，从而优于先前的 $O^{*}(2^{O(\text{OPT})})$ 界限？
• RQ3 能否在 $O^{*}(2^{O(\sqrt{\text{OPT}/n})})$ 时间内求解中间性锦标赛问题，显著优于先前的 $O^{*}(\text{OPT}^{O(\text{OPT}^{1/3})})$ 界限？
• RQ4 指数时间假设（ETH）是否意味着加权反馈弧集锦标赛问题的下界为 $O^{*}(2^{o(\sqrt{\text{OPT}})})$？
• RQ5 在何种 $\text{OPT}$ 条件下，这些问题是可多项式时间求解的？

主要发现

• 本文在反馈弧集锦标赛问题上实现了 $O^{*}(2^{O(\sqrt{\text{OPT}})})$ 的时间复杂度，优于先前的最佳界限 $O^{*}(\text{OPT}^{O(\sqrt{\text{OPT}})})$。
• 对于 Kemeny 秩聚合，该算法以 $O^{*}(2^{O(\sqrt{\text{OPT}})})$ 的时间复杂度运行，相比先前的 $O^{*}(2^{O(\text{OPT})})$ 界限有质的飞跃。
• 对于中间性锦标赛，该算法以 $O^{*}(2^{O(\sqrt{\text{OPT}/n})})$ 的时间复杂度运行，显著优于先前的 $O^{*}(\text{OPT}^{O(\text{OPT}^{1/3})})$ 界限。
• 本文证明了匹配的下界：若指数时间假设（ETH）为真，则不存在算法能在 $O^{*}(2^{o(\sqrt{\text{OPT}})})$ 时间内求解加权反馈弧集锦标赛问题。
• 该算法可在 $\text{OPT} \leq n(\log n)^2$ 的实例上实现多项式时间求解，这一情形在先前方法下尚不为所知是可 tractable 的。
• 通过证明最优解 $\pi^*$ 位于动态规划的搜索空间内，且其顶点位置的扰动范围为 $O(\sqrt{n\cdot\text{OPT}})$，确保了算法的正确性。