[论文解读] Approximations of convex bodies by polytopes and by projections of spectrahedra

Alexander Barvinok|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2012

Point processes and geometric inequalities参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文针对凸体提出两项近似结果：第一，任何ℝᵈ中的紧致集均可通过大小为d^O(1/ε²)的有限点集，在最大线性泛函值上实现ε-近似，近似因子为ε√d；第二，当格宽有界时，整数点集的凸包可由多项式维数的半正定锥截面（即谱体投影）近似，方法基于张量幂技巧与半正定秩理论。

ABSTRACT

We prove that for any compact set B in R^d and for any epsilon >0 there is a finite subset X of B of |X|=d^{O(1/epsilon^2)} points such that the maximum absolute value of any linear function ell: R^d --> R on X approximates the maximum absolute value of ell on B within a factor of epsilon sqrt{d}. We also discuss approximations of convex bodies by projections of spectrahedra, that is, by projections of sections of the cone of positive semidefinite matrices by affine subspaces.

研究动机与目标

• 开发基于有限点集与谱体投影的高效、低复杂度凸体近似方法。
• 通过用可计算的凸集替代一般凸体，解决在一般凸体上优化线性函数的计算挑战。
• 基于维度与近似误差，建立近似集合与谱体大小的定量界限。
• 建立近似质量与半正定秩及张量幂构造之间的联系。
• 探讨谱体投影是否对凸体提供优于有限点集的近似效果。

提出的方法

• 利用ℝᵈ的对称张量幂，将向量嵌入高维空间，使半正定结构显现。
• 构造一个大小为d^O(k)的有限集X ⊂ B，使得X上|ℓ(x)|的最大值近似B上|ℓ(x)|的最大值，近似因子为(d+k−1 choose k)^{1/(2k)} ≈ √(de/k)。
• 应用提升技术：通过映射(x,1)将B嵌入ℝ^{d+1}，并利用格宽约束定义线性泛函的有界范围。
• 通过ℝ^{r×r}中半正定矩阵的截面，构造仿射像的谱体投影，其中r ≤ (k+d+2 choose k)。
• 利用[0,1]上√t的多项式逼近，构造非负矩阵，其半正定秩较小，且可逼近给定的非负矩阵。
• 利用半正定秩由张量幂与多项式插值构造的提升矩阵的秩所界定的事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意ε > 0，是否存在一个大小为d^O(1/ε²)的有限点集X ⊂ B，使得X上|ℓ(x)|的最大值在ε√d因子内近似B上|ℓ(x)|的最大值？
• RQ2 对于所有线性泛函ℓ，使得X上|ℓ(x)|的最大值在给定因子内近似B上|ℓ(x)|的最大值，最小的有限集X ⊂ B的大小是多少？
• RQ3 当格宽有界时，ℝᵈ中有限整数点集的凸包能否由多项式维数的谱体投影近似？
• RQ4 非负矩阵的半正定秩与其由小半正定秩矩阵逼近之间的关系是什么？
• RQ5 谱体投影是否能为一般凸体提供优于有限点集的近似界？

主要发现

• 对于任意ε > 0，存在一个大小为d^O(1/ε²)的有限集X ⊂ B，使得X上|ℓ(x)|的最大值在ε√d因子内近似B上|ℓ(x)|的最大值。
• 通过|X| = d^O(k)个点，实现了近似因子(d+k−1 choose k)^{1/(2k)} ≈ √(de/k)，表明大小与精度之间存在权衡。
• 对于格宽有界于k的有限集B ⊂ ℤᵈ，存在一个凸集C ⊂ ℝᵈ，其在所有格方向上精确近似conv(B)，且谱体的环境维数为r = d^O(k)。
• 此类近似所需的谱体环境维数r满足r ≤ (k+d+2 choose k)，当k固定时，该值在d上为多项式。
• 任意[0,1]中取值的非负矩阵A，可由非负矩阵A′以ε-近似，且A′的半正定秩至多为(rank A)^d(ε)，其中d(ε)仅依赖于ε。
• 该构造实现了A对A′的ε-近似，且rank_psd(A′) ≤ (rank A)^d(ε)，表明小半正定秩足以实现良好的矩阵近似。