[论文解读] Exponential Lower Bounds for Polytopes in Combinatorial Optimization

Samuel Fiorini, Serge Massar+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2011

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 52被引用 7

一句话总结

该论文通过证明即使在不考虑对称性约束的情况下，任何多项式大小的线性规划（LP）都无法表示旅行商问题多面体，从而解决了长期悬而未决的开放问题。作者利用一种新颖的单向量子通信协议与线性规划的半定规划（SDP）重表述之间的联系，建立了TSP、割集和稳定集多面体的扩展复杂度的超多项式下界，排除了这些NP难问题存在多项式大小LP公式的可能性。

ABSTRACT

We solve a 20-year old problem posed by Yannakakis and prove that there exists no polynomial-size linear program (LP) whose associated polytope projects to the traveling salesman polytope, even if the LP is not required to be symmetric. Moreover, we prove that this holds also for the cut polytope and the stable set polytope. These results were discovered through a new connection that we make between one-way quantum communication protocols and semidefinite programming reformulations of LPs.

研究动机与目标

• 解决Yannakakis关于非对称多项式大小LP是否能表示TSP多面体的开放问题。
• 为关键组合优化多面体的扩展复杂度建立无条件的超多项式下界。
• 证明松弛矩阵的非负秩与正半定（PSD）秩之间可能存在指数级差距，从而揭示LP和SDP重表述的局限性。
• 建立量子通信复杂度与LP/SDP扩展复杂度之间新的理论桥梁。

提出的方法

• 引入单向量子通信协议与线性规划的半定规划（SDP）重表述之间的一种新颖联系。
• 利用矩阵的量子通信复杂度来下界其松弛矩阵的非负秩。
• 证明多面体的扩展复杂度至少为其松弛矩阵的非负秩的对数。
• 证明TSP、割集和稳定集多面体的松弛矩阵的非负秩为超多项式，从而意味着其扩展复杂度为指数级。
• 利用已知的松弛矩阵秩结果以及非负秩与PSD秩之间的关系，推导出指数级差距。
• 应用超平面分离界和矩形覆盖技术，推导出扩展复杂度的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在任何多项式大小的线性规划可以表示旅行商问题多面体，即使在不考虑对称性约束的情况下？
• RQ2 割集多面体和稳定集多面体的确切扩展复杂度是多少？
• RQ3 松弛矩阵的非负秩与正半定（PSD）秩之间是否存在指数级差距？
• RQ4 能否利用量子通信复杂度推导出组合优化多面体扩展复杂度的下界？
• RQ5 若割集多面体存在多项式大小的半定规划公式，是否意味着其也存在多项式大小的LP公式？

主要发现

• TSP多面体的扩展复杂度为超多项式，意味着即使不考虑对称性约束，任何多项式大小的线性规划都无法表示它。
• 割集多面体和稳定集多面体的扩展复杂度同样为超多项式，排除了这些问题是多项式大小LP公式的可能性。
• 某些松弛矩阵的非负秩与PSD秩之间存在指数级差距，表明SDP重表述无法总是高效模拟LP。
• 多面体CUT(n)与COR(n−1)是仿射同构的，且介于两者之间的任意多面体都具有指数级扩展复杂度。
• 存在一个包含割集多面体且被相关多面体包含的谱锥体，但无法被任何多项式大小的线性规划良好逼近。
• 该结果意味着，P = NP无法通过为NP难问题（如TSP、最大割和最大稳定集）构造多项式大小的LP公式来证明。