[论文解读] Approximations of Mckean-Vlasov SDEs with Irregular Coefficients

Jianhai Bao, Xing Huang|arXiv (Cornell University)|May 21, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 23被引用 10

一句话总结

该论文通过弱耦合粒子系统，为具有不规则系数的麦凯恩-弗拉索夫SDE应用伊藤-马鲁亚马格式建立了强收敛速率。通过结合Yamada-Watanabe逼近方法处理Hölder连续扩散系数，以及Zvonkin变换处理Hölder连续漂移系数，证明了混沌传播，并在最小正则性假设下推导出收敛速率。

ABSTRACT

The goal of this paper is to approximate several kinds of {\it Mckean-Vlasov SDEs} with {\it irregular coefficients} via weakly interacting particle systems. More precisely, propagation of chaos and convergence rate of Euler-Maruyama scheme associated with the consequent weakly interacting particle systems are investigated for Mckean-Vlasov SDEs, where (i) the diffusion terms are Hölder continuous by taking advantage of Yamada-Watanabe's approximation approach and (ii) the drifts are Hölder continuous by freezing distributions followed by invoking Zvonkin's transformation trick.

研究动机与目标

• 解决现有文献中针对具有不规则系数的麦凯恩-弗拉索夫SDE数值逼近缺乏强收敛结果的问题。
• 在弱耦合粒子系统背景下，建立伊藤-马鲁亚马格式的收敛速率。
• 将原本为标准SDE设计的数值分析技术，拓展至具有分布依赖系数的平均场设置。
• 通过先进分析工具——Yamada-Watanabe逼近与Zvonkin变换——处理不规则的漂移与扩散系数。
• 在系数正则性条件最小化的前提下，证明混沌传播并推导出显式的收敛速率。

提出的方法

• 应用Yamada-Watanabe逼近方法，处理麦凯恩-弗拉索夫SDE中Hölder连续扩散系数的问题。
• 采用Zvonkin变换技巧，通过将SDE转化为更规则的形式，处理Hölder连续漂移系数。
• 构建弱耦合粒子系统，以逼近麦凯恩-弗拉索夫SDE的分布依赖动力学。
• 在粒子系统上应用伊藤-马鲁亚马格式，实现麦凯恩-弗拉索夫SDE的数值模拟。
• 通过耦合论证与矩估计建立收敛性，利用BDG不等式与Hölder不等式。
• 应用Gronwall不等式控制粒子系统与真实解之间的误差，综合考虑分布误差与路径误差的估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有不规则系数的麦凯恩-弗拉索夫SDE，伊藤-马鲁亚马格式的强收敛速率是多少？
• RQ2 如何为逼近麦凯恩-弗拉索夫SDE的弱耦合粒子系统建立混沌传播？该SDE具有不规则的漂移与扩散系数。
• RQ3 Yamada-Watanabe逼近与Zvonkin变换能否有效结合，以处理平均场设置下的不规则系数？
• RQ4 离散化与经验测度逼近对数值格式收敛速率有何影响？
• RQ5 漂移与扩散系数的正则性假设如何影响粒子系统的收敛行为？

主要发现

• 通过Yamada-Watanabe逼近，伊藤-马鲁亚马格式在弱耦合粒子系统上对具有Hölder连续扩散系数的麦凯恩-弗拉索夫SDE实现了强收敛。
• 对于Hölder连续漂移系数，Zvonkin变换使即使在不规则性存在的情况下，也能推导出收敛速率。
• 论文建立了混沌传播，其收敛速率依赖于粒子数 $ N $ 与时间步长 $ au $，并显式表现出 $ au^{rac{eta}{2}} $ 的依赖关系（$ eta eq 1 $）。
• 在给定的Hölder连续性假设下，粒子系统对真实麦凯恩-弗拉索夫解的收敛速率被量化为 $ au^{rac{eta}{2}} $，其中 $ eta eq 1 $。
• 粒子系统与真实解之间的误差满足形式为 $ Eig[ig( extstylerac{1}{N} extstylerac{1}{N}ig)ig] $ 的矩估计，且显式依赖于 $ au $ 与 $ N $。
• 分析结果表明，在最小正则性假设下，收敛速率得以保持，关键误差项通过Gronwall不等式与矩估计得到控制。