[论文解读] Simulation of McKean Vlasov SDEs with super linear growth

Gonçalo dos Reis, Stefan Engelhardt+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 36被引用 11

一句话总结

本文提出用于模拟具有超线性漂移增长和随机初值的McKean-Vlasov SDE的显式与隐式欧拉格式，采用截断欧拉方法与停时技术。该工作建立了显式格式在标准1/2收敛速率下的强收敛性，并证明了路径上的混沌传播，数值实验验证了理论收敛速率，并揭示了在高粒子数下粒子污染效应的存在。

ABSTRACT

We present two fully probabilistic Euler schemes, one explicit and one implicit, for the simulation of McKean-Vlasov Stochastic Differential Equations (MV-SDEs) with drifts of super-linear growth and random initial condition. We provide a pathwise propagation of chaos result and show strong convergence for both schemes on the consequent particle system. The explicit scheme attains the standard $1/2$ rate in stepsize. From a technical point of view, we successfully use stopping times to prove the convergence of the implicit method although we avoid them altogether for the explicit one. The combination of particle interactions and random initial condition makes the proofs technically more involved. Numerical tests recover the theoretical convergence rates and illustrate a computational complexity advantage of the explicit over the implicit scheme. A comparative analysis is carried out on a stylized non-Lipschitz MV-SDE and a mean-field model for FitzHugh-Nagumo neurons. We provide numerical tests illustrating "particle corruption" effect where one single particle diverging can "corrupt" the whole particle system. Moreover, the more particles in the system the more likely this divergence is to occur.

研究动机与目标

• 开发适用于具有超线性漂移增长的McKean-Vlasov SDE的可靠数值格式，其中标准欧拉方法失效。
• 解决在非Lipschitz系数与随机初值条件下模拟平均场SDE的挑战。
• 在相互作用粒子系统的背景下，建立显式与隐式欧拉型格式的强收敛性。
• 在无需强制性或耗散性条件下，证明在超线性增长下粒子系统的路径混沌传播。
• 数值研究粒子污染效应，即单个发散粒子可使整个系统失稳。

提出的方法

• 采用受Hutzenthaler等（2012）与Lionnet等（2018）启发的截断欧拉格式，以处理超线性漂移增长。
• 使用停时与局部化技术证明隐式格式的收敛性，而为简化起见在显式格式中避免使用这些技术。
• 采用粒子系统近似，其中过程的分布由N个相互作用粒子的经验测度替代。
• 应用Grönwall不等式与柯西-施瓦茨不等式，控制收敛分析中的误差项。
• 引入一种改进的时间步长格式，结合截断机制，防止漂移项爆炸。
• 结合矩界与路径估计，控制真实解与数值近似之间的差异。

实验结果

研究问题

• RQ1 显式与隐式欧拉格式能否被调整以实现具有超线性漂移与随机初值的McKean-Vlasov SDE的强收敛？
• RQ2 在无强制性或耗散性条件下，粒子系统在超线性增长下是否表现出路径混沌传播？
• RQ3 在存在粒子相互作用与随机初值数据时，显式格式的收敛速率是多少？
• RQ4 粒子污染效应如何表现，其在系统粒子数增加时如何演化？
• RQ5 隐式格式能否在不依赖停时技术的情况下保持稳定与收敛，其计算性能与显式格式相比如何？

主要发现

• 显式欧拉格式在具有超线性漂移的McKean-Vlasov SDE中实现了标准的1/2阶步长强收敛速率。
• 隐式格式同样实现强收敛，其收敛性通过停时论证与矩估计得以证明。
• 在超线性增长下，即使无强制性或耗散性，粒子系统也实现了路径混沌传播。
• 数值实验验证了两种格式在非Lipschitz MV-SDE与FitzHugh-Nagumo平均场模型上的理论收敛速率。
• 实际计算中，显式格式相较于隐式格式展现出计算复杂度优势。
• 观察到粒子污染效应：单个发散粒子可使整个系统失稳，且该风险随粒子数增加而上升。