[论文解读] APS index theorem for even-dimensional manifolds with non-compact boundary

Maxim Braverman, Pengshuai Shi|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 27被引用 7

一句话总结

本文建立了非紧边界偶维流形上的Atiyah–Patodi–Singer（APS）指标定理，引入了一类在紧集外相等的强Callias型算子的相对 eta-不变量。关键贡献在于提出一个公式，将该相对 eta-不变量的变化表示为该族算子的谱流与包含横截形式的局部微分几何项之和，从而实现了对非紧情形下异常现象的严格分析。

ABSTRACT

We study the index of the APS boundary value problem for a strongly Callias-type operator $D$ on a complete even dimensional Riemannian manifold $M$ (the odd dimensional case was considered in our previous paper arXiv:1706.06737). We use this index to define the relative $η$-invariant $η(A_1,A_0)$ of two strongly Callias-type operators, which are equal outside of a compact set. Even though in our situation the $η$-invariants of $A_1$ and $A_0$ are not defined, the relative $η$-invariant behaves as if it were the difference $η(A_1)-η(A_0)$. We also define the spectral flow of a family of such operators and use it compute the variation of the relative $η$-invariant.

研究动机与目标

• 将APS指标定理推广至具有非紧边界的偶维完备流形，其中Atiyah–Singer被积函数非零且起关键作用。
• 为在紧集外相等的两个强Callias型算子定义相对 eta-不变量，尽管由于非紧性，其个体 eta-不变量本身未定义。
• 建立相对 eta-不变量变化与连续算子族谱流之间的关系，从而在非紧情形下提供一个拓扑不变量。
• 为描述非紧时空（特别是洛伦兹型或空间非紧的几何结构）中量子场论的异常现象提供数学框架。

提出的方法

• 引入强Callias型算子的近乎紧致本质支撑概念，其中算子的平方在紧集外严格为正，且算子在边界附近为乘积形式。
• 证明全算子的APS指标等于其在近乎紧致本质支撑上的限制的APS指标，从而将问题简化为紧支集情形。
• 将相对 eta-不变量定义为一个行为类似个体 eta-不变量之差的实数，即使这些个体值未定义。
• 利用连续算子族的谱流来计算相对 eta-不变量的变化，建立涉及横截形式积分的公式。
• 通过横截形式 $\beta_r$ 推导出约化相对 eta-不变量变化的局部公式，该形式在紧集外为零，且满足 $d\beta_r = \frac{d}{dr}\alpha_{\rm AS}(\mathcal{D}^r)$。
• 将差值 $\eta(\mathcal{A}^1,\mathcal{A}_0) - \eta(\mathcal{A}^0,\mathcal{A}_0)$ 表示为 $2\operatorname{sf}(\mathbb{A}) + 2\int_{\partial M'} \left(\int_0^1 \beta_r \, dr\right)$，从而连接拓扑与几何数据。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将APS指标定理推广至具有非紧边界的偶维流形，其中Atiyah–Singer被积函数非零？
• RQ2 能否为在紧集外相等的两个强Callias型算子定义相对 eta-不变量，即使其个体 eta-不变量未定义？
• RQ3 相对 eta-不变量的变化与连续算子族谱流之间存在何种关系？
• RQ4 相对 eta-不变量的变化如何用局部微分几何时数据（如横截形式）表达？
• RQ5 该框架在多大程度上可应用于描述非紧时空中量子场论的异常现象？

主要发现

• 在完备偶维流形上，强Callias型算子的APS边值问题的指标等于其在近乎紧致本质支撑上的限制的指标。
• 相对 eta-不变量 $\eta(\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_0)$ 是一个良定义的实数，其行为类似于 $\eta(\mathcal{A}_1) - \eta(\mathcal{A}_0)$，尽管个体 $\eta$-不变量未定义。
• 沿连续族 $\mathcal{A}^r$，相对 eta-不变量的变化由公式 $\eta(\mathcal{A}^1, \mathcal{A}_0) - \eta(\mathcal{A}^0, \mathcal{A}_0) = 2\operatorname{sf}(\mathbb{A}) + 2\int_{\partial M'} \left(\int_0^1 \beta_r \, dr\right)$ 给出，其中 $\operatorname{sf}(\mathbb{A})$ 为谱流。
• 相对 eta-不变量模 $\mathbb{Z}$ 约化后的导数为 $\frac{d}{dr}\bar{\eta}(\mathcal{A}^r, \mathcal{A}_0) = -2\int_{M'} \frac{d}{dr}\alpha_{\rm AS}(\mathcal{D}^r)$，利用Stokes定理可简化为 $2\left(\int_{\{1\}\times N_1} \beta_r - \int_{N_0} \beta_r\right)$。
• 横截形式 $\beta_r$ 具紧支集，且满足 $d\beta_r = \frac{d}{dr}\alpha_{\rm AS}(\mathcal{D}^r)$，从而为变化提供局部几何表达。
• 该框架为研究非紧流形上量子场论的异常现象（包括手征异常与Horava–Witten异常）提供了数学上严格的工具。