[论文解读] Arakelov-Nevanlinna inequalities for variations of Hodge structures and applications

Damian Brotbek, Yohan Brunebarbe|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用 9

一句话总结

本文建立了霍奇结构变化的阿拉凯洛夫不等式在Nevanlinna理论中的类比，证明了在$X\setminus D$支持复极化霍奇结构变化的对数光滑对$(X,D)$上，具有第二主定理型的不等式。关键结果将Griffiths-Schmid度量的特征函数以底空间的双曲性不变量为条件进行有界，从而导出一个推广Nadel结果的双曲性判别准则。

ABSTRACT

We prove a Second Main Theorem type inequality for any log-smooth projective pair $(X,D)$ such that $X\setminus D$ supports a complex polarized variation of Hodge structures. This can be viewed as a Nevanlinna theoretic analogue of the Arakelov inequalities for variations of Hodge structures due to Deligne, Peters and Jost-Zuo. As an application, we obtain in this context a criterion of hyperbolicity that we use to derive a vast generalization of a well-known hyperbolicity result of Nadel. The first ingredient of our proof is a Second Main Theorem type inequality for any log-smooth projective pair $(X,D)$ such that $X\setminus D$ supports a metric whose holomorphic sectional curvature is bounded from above by a negative constant. The second ingredient of our proof is an explicit bound on the holomorphic sectional curvature of the Griffiths-Schmid metric constructed from a variation of Hodge structures. As a byproduct of our approach, we also establish a Second Main Theorem type inequality for pairs $(X,D)$ such that $X\setminus D$ is hyperbolically embedded in $X$.

研究动机与目标

• 建立霍奇结构变化的阿拉凯洛夫不等式在Nevanlinna理论中的类比。
• 推导从抛物黎曼曲面到支持霍奇结构变化的对数光滑对的映射的双曲性判别准则。
• 通过将新不等式应用于双曲性嵌入的代数簇情形，推广Nadel的双曲性结果。
• 通过Griffiths-Schmid度量的曲率界，统一分析与代数第二主定理。
• 利用Kobayashi-Royden度量与曲率比较，证明当$X\setminus D$在$X$中双曲性嵌入时，对偶对的第二主定理。

提出的方法

• 证明结合了在全纯截面曲率有上界为负常数的度量上成立的第二主定理不等式，以及从霍奇结构变化中导出的Griffiths-Schmid度量的显式曲率界。
• 作者在非紧致抛物黎曼曲面$B$上使用抛物 exhaustion 函数$\sigma$，定义加权欧拉示性数$\mathfrak{X}_{B,\sigma}(r)$。
• 对于避免除子$D$的全纯映射$f: B \to X$，定义Nevanlinna特征函数$T_{f,L}(r)$与计数函数$N^{[1]}_{f,D}(r)$，使用线丛曲率的拉回。
• Griffiths-Schmid度量的曲率界由霍奇结构的性质导出，特别是单峰单值性与Hodge丛的典范Deligne-Schmid扩张。
• 主要不等式将$T_{f,\bar{L}_{\mathbb{V}}}(r)$与$-\mathfrak{X}_{B,\sigma}(r) + N^{[1]}_{f,D}(r)$进行比较，包含$T_{f,A}(r)$与$\log r$的低阶修正项，几乎处处成立（在有限测度的Borel集外）。
• 在双曲性嵌入情形下，证明利用Kobayashi-Royden度量的距离递减性，并通过形式$\omega_U$与标准Nevanlinna特征函数进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在对数光滑对上为霍奇结构变化建立Nevanlinna理论意义下的第二主定理？
• RQ2 Griffiths-Schmid度量的全纯截面曲率如何约束Nevanlinna特征函数的增长？
• RQ3 在霍奇理论数据背景下，阿拉凯洛夫-Nevanlinna不等式会导出何种双曲性判别准则？
• RQ4 分析第二主定理能否扩展到$X\setminus D$在$X$中双曲性嵌入的情形？
• RQ5 新不等式在多大程度上推广了Nadel对代数簇的双曲性结果？

主要发现

• 本文证明：对于任意从抛物黎曼曲面$B$到光滑射影代数曲面$X$的非常值全纯映射$f$，若$D$为一个横截除子，则在有限测度的Borel集外，不等式$$T_{f,\bar{L}_{\mathbb{V}}}(r) \leq \frac{w^2 \cdot \operatorname{rank}\mathcal{L}}{4} \left( -\mathfrak{X}_{B,\sigma}(r) + N^{[1]}_{f,D}(r) \right) + C(\log r + \log T_{f,A}(r))$$成立。
• Griffiths-Schmid度量的曲率界被显式导出为全纯截面曲率$\leq -\frac{1}{2}$，从而可应用Nevanlinna理论。
• 对于$X\setminus H$在$X$中双曲性嵌入的情形，建立了不等式$$T_{f,A}(r) \leq_{\rm exc} \alpha_{\rm an}(N^{(1)}_{f,H}(r) - \mathfrak{X}_{\sigma}(r)) + O(\log r)$$，其中$\alpha_{\rm an} = \frac{\pi}{2\eta(1-\varepsilon)}$对任意$\varepsilon > 0$成立，$\eta$控制双曲性嵌入的程度。
• 代数版本的不等式给出：对射影曲线有$$\deg f^*A \leq \alpha_{\rm alg}(\deg(f^*H)_{\rm red} - \chi(B))$$，其中$\alpha_{\rm alg} = \frac{\pi}{2\eta}$，从而证实了Pacienza与Rousseau的猜想。
• 该方法提供了一个通用框架，通过曲率与度量比较技术，统一分析与代数第二主定理。
• 结果通过表明：若$X\setminus D$支持具有单峰单值性的霍奇结构变化，则任意从抛物黎曼曲面到$X$且避开$D$的非常值映射必须满足强增长约束，从而在广义意义下蕴含双曲性，从而推广了Nadel的双曲性定理。