[论文解读] Big Picard theorem and algebraic hyperbolicity for varieties admitting a variation of Hodge structures

Ya Deng|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 61被引用 13

一句话总结

本文建立了具有拟有限周期映射的拟射影流形上复极化霍奇结构变化（C-PVHS）的代数双曲性及广义大皮卡德定理。此外，本文进一步证明了此类流形的强双曲性，扩展了对埃尔米特对称空间的结果，并推广了近期Bakker-Brunebarbe-Tsimerman的工作。

ABSTRACT

In this paper we study three notions of hyperbolicity for varieties admitting complex polarized variation of Hodge structures ($\mathbb{C}$-PVHS for short). In the first part we prove that if a quasi-projective manifold $U$ admits a $\mathbb{C}$-PVHS whose period map is quasi-finite, then $U$ is algebraically hyperbolic in the sense of Demailly, and that the generalized big Picard theorem holds for $U$: any holomorphic map $f:\Delta-\{0\} o U$ from the punctured unit disk to $U$ extends to a holomorphic map of the unit disk $\Delta$ into any projective compactification of $U$. This result generalizes a recent work by Bakker-Brunebarbe-Tsimerman. In the second part of this paper, we prove the strong hyperbolicity for varieties admitting $\mathbb{C}$-PVHS, which is analogous to previous works by Nadel, Rousseau, Brunebarbe and Cadorel on hermitian symmetric spaces.

研究动机与目标

• 建立具有拟有限周期映射的拟射影流形上C-PVHS的代数双曲性。
• 证明此类流形的广义大皮卡德定理，确保从穿孔单位圆盘到流形的全纯映射可延拓至整个单位圆盘。
• 将此前仅知于埃尔米特对称空间的强双曲性结果，推广至具有C-PVHS的流形。
• 在双曲性与霍奇结构变化的背景下，推广Bakker-Brunebarbe-Tsimerman近期的进展。

提出的方法

• 利用C-PVHS相关的周期映射来分析基流形U的几何结构。
• 应用周期映射的拟有限性，推导出Demailly意义下的代数双曲性。
• 运用复几何中的解析技术，证明从单位穿孔圆盘到U的全纯映射可全纯延拓至整个单位圆盘。
• 将Nadel、Rousseau、Brunebarbe与Cadorel在埃尔米特对称空间中研究双曲性的方法，适配至C-PVHS的设定。
• 利用霍奇度量的曲率性质及全纯截面曲率的负性，推导出强双曲性。
• 依赖霍奇结构变化及其单值群作用的理论，以控制全纯曲线的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有拟有限周期映射的拟射影流形是否满足Demailly定义的代数双曲性？
• RQ2 广义大皮卡德定理是否可从有限单值群情形推广至具有C-PVHS的流形？
• RQ3 埃尔米特对称空间的双曲性在多大程度上可推广至具有C-PVHS的流形？
• RQ4 周期映射的拟有限性如何影响从穿孔圆盘出发的全纯映射的延拓性质？
• RQ5 C-PVHS的何种条件可保证基流形的强双曲性？

主要发现

• 任何具有拟有限周期映射的C-PVHS的拟射影流形U，在Demailly意义下均为代数双曲的。
• 任何从穿孔单位圆盘Δ−{0}到U的全纯映射f: Δ−{0} → U，均可在U的任意射影紧化中全纯延拓至整个单位圆盘Δ。
• 此类流形U满足广义大皮卡德定理，推广了此前在有限单值群情形的结果。
• 流形U满足强双曲性，即从任意复流形到U的每个全纯映射均为代数退化的。
• 本研究推广了Bakker-Brunebarbe-Tsimerman的早期工作，并将埃尔米特对称空间的双曲性结果推广至C-PVHS的更广泛设定。