[论文解读] Arithmetic Geometry and Analysis on Foliated Spaces

Christopher Deninger|ArXiv.org|May 17, 2005

Geometric and Algebraic Topology参考文献 28被引用 6

一句话总结

本文通过类比叶状流形上的动力系统，提出了一套用于$ \mathrm{Spec} \mathbb{Z}$上概形的算术Zeta函数的上同调框架。研究表明，某些动力系统的约化叶状上同调镜像了动机上同调所预期的性质，并推导出与猜想的算术L函数一致的Lefschetz型迹公式，暗示了数域L函数背后存在深刻的几何结构。

ABSTRACT

This report on the topics in the title was written for a lecture series at the Southwestern Center for Arithmetic Algebraic Geometry at the University of Arizona.It may serve as an introduction to certain conjectural relations between number theory and the theory of dynamical systems on foliated spaces. The material is based on streamlined and updated versions of earlier papers on this subject.

研究动机与目标

• 为$ \mathrm{Spec} \mathbb{Z}$上的代数概形建立一个类似于正特征情形下$l$-进上同调的上同调形式化体系。
• 解释此类形式化体系如何实现Hasse–Weil Zeta函数的猜想性质，包括函数方程和特殊值公式。
• 识别出其约化叶状上同调展现出动机上同调所预期结构特征的叶状流形上的动力系统。
• 在动力流的不动点与阿代尔位置之间建立对应关系，将几何与算术联系起来。
• 探索算术动力系统与算术拓扑之间的联系，通过L函数行为的类比。

提出的方法

• 提出从$ \mathrm{Spec} \mathbb{Z}$上的平坦概形到叶状流形上动力系统的函子性对应，包含流$\phi^t$与自同态$\sigma$。
• 将该动力系统的约化叶状上同调用作动机上同调的候选，特别是对于具有构造层的$H^i_c(U,F)$。
• 对动力系统上自同态$\phi^s\sigma$应用Lefschetz不动点公式，得到在不动点集上的迹公式。
• 推导出$\mathrm{Tr}((\sigma,e)^* \mid H^\bullet_c(U,F))$的迹公式，其求和项包含$\phi$-不动点与$\sigma$-不动点，并带有符号因子$\varepsilon_x(\sigma)$。
• 将动力迹公式与猜想的Bloch–Kato及Soulé公式在L函数特殊值上的表现进行比较。
• 假设动力空间上$\phi^t$的不动点集对应于$\mathcal{X}_\infty = \mathcal{X} \otimes \mathbb{R}$，即阿代尔位置。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用叶状流形上的动力系统，为$ \mathrm{Spec} \mathbb{Z}$上的概形构造出一个上同调形式化体系？
• RQ2 此类动力系统的约化叶状上同调群是否满足动机上同调所预期的结构性质？
• RQ3 是否能通过动力迹公式几何实现Hasse–Weil Zeta函数的函数方程？
• RQ4 能否从动力系统的不动点数据中恢复L函数的特殊值？
• RQ5 动力迹公式中的符号因子$\varepsilon_x(\sigma)$与函数方程的符号等算术不变量之间有何关系？

主要发现

• 若$\phi^t$无不动点，则自同态$\sigma^*$在紧支上同调$H^\bullet_c(\mathcal{X}_{\mathrm{dyn}}, \mathbb{Q})$上的迹为零，与阿代尔完备化中不存在有限素数的情况一致。
• 对于具有光滑一般纤维且$\mathcal{X}_\infty$上具有非退化不动点的概形，动力迹公式给出$\mathrm{Tr}(\sigma^* \mid H^\bullet(\overline{\mathcal{X}}_{\mathrm{dyn}}, j_*\mathbb{Q})) = \sum_{\sigma x = x} \varepsilon_x(\sigma)$，与算术公式(49)一致。
• 动力空间$\mathcal{X}_{\mathrm{dyn}}$上流$\phi^t$的不动点集被猜想与$\mathcal{X}_\infty = \mathcal{X}(\mathbb{C}) / \langle F_\infty \rangle$之间存在双射，即阿代尔赋值的集合。
• 动力公式中的符号因子$\varepsilon_x(\sigma)$与Bloch–Kato公式(43)中的算术符号因子一致，表明两个框架之间具有一致性。
• 由于上同调的同伦不变性，动力迹公式与$s$无关，支持其在关联L函数行为与几何数据方面的应用。
• 动力与算术迹公式之间的比较为动力系统的上同调可能实现算术概形的动机上同调提供了启发性证据。