[论文解读] Arithmetic in big number fields: the '+Ideals' package

Jordi Guàrdia, Jesús Sanz Montes+1 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用 4

一句话总结

Magma 的 +Ideals 包通过避免使用积分基，利用 Montes 算法和高阶 Newton 多边形，实现了在数域中的高效算术运算，可在标准硬件上对高次域（例如 1000 次）和大判别式（例如 300 位数）实现快速因子分解、赋值计算和理想运算，结果在数秒内完成，而非数天或数周。

ABSTRACT

We introduce our package '+Ideals' for Magma, designed to perform the basic tasks related to ideals in number fields without pre-computing integral bases. It is based on Montes algorithm and a number of local techniques that we have developed in a series of papers in the last years.

研究动机与目标

• 解决在大判别式或高次数数域中传统理想算术计算不可行的问题。
• 克服积分基计算这一瓶颈，因为在实际数论问题中该计算往往不可行。
• 开发一个以素理想为中心而非整数环的计算框架，实现可扩展且高效的算法。
• 提供一个实用的 Magma 包，支持核心操作如理想因子分解、赋值、约化和中国剩余定理，而无需预先计算积分基。
• 在保持与现有 Magma 例程向后兼容的同时，扩展其功能以支持新数据类型，如 PrimeIdealRecord 和 IdealRecord。

提出的方法

• 利用 Montes 算法在不依赖积分基的前提下，计算有理素数在数域中的局部因子分解数据。
• 使用高阶 Newton 多边形高效分析素理想的分解并提取局部信息。
• 引入新的 Magma 数据类型：PrimeIdealRecord 和 IdealRecord，用于表示分式理想并存储相关属性。
• 实现标准 Magma 函数（如 Factorization、TwoElement、CRT）的扩展版本，使其可操作于新的理想记录。
• 将计算得到的素理想数据（如因子分解、局部指标）存储在数域属性中（如 K`FactorizationString、K`LocalIndex），以供重用。
• 通过 pIntegralBasis、SIntegralBasis 和 IntegralBasis 函数支持积分基计算，使用基于 Montes 的算法并附带验证检查。

实验结果

研究问题

• RQ1 在高次或大判别式数域中，是否可以不计算积分基而高效地进行理想算术运算？
• RQ2 Montes 算法和 Newton 多边形技术在计算代数数论中，能在多大程度上替代依赖积分基的传统方法？
• RQ3 如何将素理想作为核心计算对象，以简化因子分解、赋值和约化等操作？
• RQ4 在涉及大数域的实际场景中，避免计算积分基能带来多大的性能提升？
• RQ5 能否使用基于 Montes 的算法实现可靠的积分基计算？此类算法又如何集成到通用计算系统中？

主要发现

• 在标准计算机上，+Ideals 包在 1.3 秒内完成了 1000 次数域（判别式为 300 位数）的理想因子分解。
• 在由常数项为 500 位的 100 次多项式定义的数域中，有理素数 2 的素理想因子分解在 1.3 秒内完成。
• 在同一数域中，素数 2 的局部指标计算结果为 12,250，表明该扩张具有高度分歧性。
• 该包成功使用基于 Montes 的算法计算积分基，并通过验证检查确保结果正确。
• 中国剩余定理操作已扩展至支持 PrimeIdealRecord 和 IdealRecord 类型，实现了高效的同余方程求解。
• 该包支持通过 CreateRandomType 和 CombinePolynomialsWithDifferentPrimes 等函数构建具有指定类型的困难数域，从而实现对算法的可控测试。