[论文解读] Arithmetic properties of signed Selmer groups at non-ordinary primes

Jeffrey Hatley, Antonio Lei|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文通过使用在 $\mathbb{Z}_p$-循环扩张上定义的 Wach 模块，将 Greenberg-Vatsal 和 Kim 关于在 $p$-非普通素数处的模形式的 Selmer 群的 Iwasawa 不变量结果推广到非普通模形式。证明了在同余条件下，模形式的符号 Selmer 群的 $\mu$-和 $\lambda$-不变量相关，并建立了分析秩模 2 的奇偶性关系，推广了对奇异和普通情形的结果。

ABSTRACT

We extend many results on Selmer groups for elliptic curves and modular forms to the non-ordinary setting. More precisely, we study the signed Selmer groups defined using the machinery of Wach modules over $\mathbf{Z}_p$-cyclotomic extensions. First, we provide a definition of residual and non-primitive Selmer groups at non-ordinary primes. This allows us to extend techniques developed by Greenberg (for $p$-ordinary elliptic curves) and Kim ($p$-supersingular elliptic curves) to show that if two $p$-non-ordinary modular forms are congruent to each other, then the Iwasawa invariants of their signed Selmer groups are related in an explicit manner. Our results have several applications. First of all, this allows us to relate the parity of the analytic ranks of such modular forms generalizing a recent result of the first-named author for $p$-supersingular elliptic curves. Second, we can prove a Kida-type formula for the signed Selmer groups generalizing results of Pollack and Weston.

研究动机与目标

• 将 Greenberg-Vatsal 和 Kim 关于 Selmer 群的 Iwasawa 不变量结果从普通情形推广到非普通模形式。
• 利用 Wach 模组理论，在非普通素数处定义残余和非本原符号 Selmer 群。
• 证明同余的模形式在其符号 Selmer 群中具有相关的 $\mu$-和 $\lambda$-不变量。
• 在有限 $p$-扩张上为符号 Selmer 群建立 Kida 型公式。
• 通过显式有限素数集合，建立同余模形式之间分析秩的联系。

提出的方法

• 通过在 $\mathbb{Z}_p$-循环扩张上使用 Wach 模组，为非普通模形式定义符号 Selmer 群 $\mathrm{Sel}_i(f/K_\infty)$。
• 引入非本原和残余符号 Selmer 群，将 Greenberg-Vatsal 的辅助群技巧推广至非普通情形。
• 利用 $\Lambda$-模理论和 $\Lambda$-余挠性质分析符号 Selmer 群的 Iwasawa 不变量。
• 应用同余技巧和 $\Sigma_0$ 中素数的局部条件，关联同余形式的不变量。
• 通过将 Selmer 群扩展至有限 $p$-扩张并比较 $\lambda$-不变量，建立 Kida 型公式。
• 通过 LMFDB 和 Sturm 的界进行计算验证，测试分析秩奇偶性猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 若两个非普通模形式模 $p$ 同余，它们的 $\mu$-不变量有何关系？
• RQ2 对于同余形式，非本原符号 Selmer 群的 $\lambda$-不变量是否可关联？
• RQ3 是否存在一个奇偶性条件，将同余非普通模形式的分析秩联系起来？
• RQ4 符号 Selmer 群在有限 $p$-扩张上是否满足 Kida 型公式？
• RQ5 有限集 $\mathcal{S}_f$ 在分析秩奇偶性关系中起什么作用？

主要发现

• 符号 Selmer 群 $\mathrm{Sel}_i(f/K_\infty)$ 没有有限指数的 $\Lambda$-子模。
• 对于同余模形式 $f$ 和 $g$，$\mathrm{Sel}_i(f/K_\infty)$ 的 $\mu$-不变量为零，当且仅当 $\mathrm{Sel}_i(g/K_\infty)$ 的 $\mu$-不变量也为零。
• 当 $\mu$-不变量为零时，非本原符号 Selmer 群 $\mathrm{Sel}_i^{\Sigma_0}(f/K_\infty)$ 和 $\mathrm{Sel}_i^{\Sigma_0}(g/K_\infty)$ 的 $\lambda$-不变量相等。
• $\mathrm{Sel}_i(f/\mathbb{Q})$ 的余维加上有限集 $\mathcal{S}_f$ 的大小，与 $\mathrm{Sel}_i(g/\mathbb{Q})$ 的余维加上 $|\mathcal{S}_g|$ 具有相同的奇偶性。
• 对于具有平凡纽本蒂普斯特征的模形式，分析秩与 $|\mathcal{S}_f|$ 之和的奇偶性与 $g$ 相同，即 $r_{\mathrm{an}}(f) + |\mathcal{S}_f| \equiv r_{\mathrm{an}}(g) + |\mathcal{S}_g| \pmod{2}$。
• 在有限伽罗瓦 $p$-扩张上，符号 Selmer 群的 $\lambda$-不变量满足 Kida 型公式，推广了 Pollack-Weston 的结果。