[论文解读] Arithmeticity of the Couwenberg-Heckman-Looijenga lattices

Martin Deraux|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文研究了 $PU(n,1)$ 中 Couwenberg-Heckman-Looijenga 算法的算术性，证明了在 $PU(3,1)$ 中存在一个非算术性算法，该算法与已知的 Deligne-Mostow 非算术性算法不共轭。此外，本文计算了轨道空间欧拉示性数，并为这些算法的所有三维例子提供了显式表示。

ABSTRACT

We study the arithmeticity of the Couwenberg-Heckman-Looijenga lattices in $PU(n,1)$, and show that they contain a non-arithmetic lattice in $PU(3,1)$ which is not commensurable to the non-arithmetic Deligne-Mostow lattice in $PU(3,1)$. We also compute the orbifold Euler characteristic and give explicit presentations for all their 3-dimensional examples.

研究动机与目标

• 确定 $PU(n,1)$ 中 Couwenberg-Heckman-Looijenga 算法的算术性或非算术性。
• 研究 $PU(3,1)$ 中是否存在非算术性算法，且不与 Deligne-Mostow 算法共轭。
• 计算这些算法所有三维例子的轨道空间欧拉示性数。
• 为所有三维 Couwenberg-Heckman-Looijenga 算法提供显式群表示。

提出的方法

• 分析与 $PU(n,1)$ 中算法相关的单变量表示和几何结构。
• 使用群论技术确定共轭类和算术性性质。
• 通过相关局部对称空间的拓扑和代数不变量计算轨道空间欧拉示性数。
• 利用来自算法构造的组合与几何数据，显式构造群表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 Couwenberg-Heckman-Looijenga 算法在 $PU(3,1)$ 中是否存在一个非算术性例子，且不与 Deligne-Mostow 算法共轭？
• RQ2 这些算法的三维例子的轨道空间欧拉示性数是多少？
• RQ3 能否为所有三维 Couwenberg-Heckman-Looijenga 算法推导出显式群表示？
• RQ4 这些算法的算术性质在不同维度下如何变化？

主要发现

• 构造了一个在 $PU(3,1)$ 中的非算术性算法，且不与 Deligne-Mostow 算法共轭。
• 计算了 Couwenberg-Heckman-Looijenga 算法所有三维例子的轨道空间欧拉示性数。
• 为所有三维 Couwenberg-Heckman-Looijenga 算法提供了显式表示。
• 证明了 $PU(3,1)$ 中的算法是非算术性的，并且在共轭类上与 Deligne-Mostow 算法不同。