[论文解读] Art Gallery Localization

Prosenjit Bose, Jean-Lou De Carufel+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2017

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新颖的塔放置算法，用于在简单多边形中通过三边测量实现自定位，其中代理通过可见塔的距离和位置数据确定其坐标。论文证明，最多 ⌊2n/3⌋ 座塔足以实现完全定位，且该数量为必要条件，优于先前的 ⌊8n/9⌋ 上限 bound。

ABSTRACT

We study the problem of placing a set $T$ of broadcast towers in a simple polygon $P$ in order for any point to locate itself in the interior of $P$. Let $V(p)$ denote the visibility polygon of a point $p$, as the set of all points $q \in P$ that are visible to $p$. For any point $p \in P$: for each tower $t \in T \cap V(p)$ the point $p$ receives the coordinates of $t$ and the Euclidean distance between $t$ and $p$. From this information $p$ can determine its coordinates. We show a tower-positioning algorithm that computes such a set $T$ of size at most $\lfloor 2n/3 floor$, where $n$ is the size of $P$. This improves the previous upper bound of $\lfloor 8n/9 floor$ towers. We also show that $\lfloor 2n/3 floor$ towers are sometimes necessary.

研究动机与目标

• 设计简单多边形中广播塔的最小集合，使得任意内部点（代理）可通过三边测量确定其绝对坐标。
• 改进定位所需塔数量的上界，将之从 ⌊8n/9⌋ 降低至 ⌊2n/3⌋。
• 将 Tóth 的多边形划分方法适配于处理分解过程中出现的非一般位置子多边形，确保其在真实世界多边形中的适用性。
• 开发一种仅使用塔的坐标和距离信息即可唯一解析代理位置的定位算法，即使仅能观测到两座塔亦可实现。
• 证明 ⌊2n/3⌋ 座塔在某些情况下为必要条件，从而确立该界限为紧致界限。

提出的方法

• 将 Tóth 的多边形划分方法进行适配，将简单多边形分解为至多 ⌊n/3⌋ 个星形子多边形，每个子多边形需配置一对塔以实现完全可见。
• 修改划分过程以处理分解过程中引入的非一般位置顶点，确保每个子多边形的核中至少包含两座不同的塔。
• 使用“奇偶性技巧”解决三边测量中的歧义：当仅能观测到两座塔时，算法根据两座塔之间距离的分子的奇偶性选择正确位置。
• 采用经典的三边测量方法，通过以可见塔为中心、以代理到塔的距离为半径作圆，利用圆的交点确定位置。
• 提出一种仅依赖可见塔输入（坐标与距离）的定位算法，无需事先了解多边形的结构信息。
• 通过证明修改后的划分方法可确保每个子多边形均由两座塔的可见区域完全覆盖，从而验证该方法的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在任意简单多边形中，通过三边测量实现完全自定位所需的最少塔数是多少？
• RQ2 Tóth 的多边形划分方法能否被适配，以确保即使在顶点非一般位置的情况下，每个子多边形的核中仍包含两座不同的塔？
• RQ3 如何利用几何或算术性质唯一地解决三边测量中的歧义解（即两座圆交于两点）？
• RQ4 定位所需的 ⌊2n/3⌋ 座塔的上界是否为紧致的，还是可以进一步降低？
• RQ5 计算多边形三边测量最优塔数的问题是否为 NP-难问题？

主要发现

• 本文建立了任意简单多边形中完全定位的塔数上界为 ⌊2n/3⌋，优于先前的 ⌊8n/9⌋ 上限。
• 论文证明 ⌊2n/3⌋ 座塔在某些情况下为必要条件，表明该界限为紧致界限，无法在渐近意义下进一步改进。
• 作者识别并修正了 Tóth 原始论述中的错误（命题 2 和命题 7），从而加强了划分方法的理论基础。
• 所提出的定位算法仅使用可见塔的坐标与距离信息，即可唯一确定代理的位置，并通过基于奇偶性的规则解决歧义。
• 该方法对划分过程中引入的非一般位置子多边形具有鲁棒性，扩展了 Tóth 方法的适用范围。
• 本文推测，计算三边测量最优塔数的问题可能为 NP-难问题，建议作为未来研究方向。