[论文解读] Aspects of enumeration and generation with a string automata representation

Marco Almeida, Nelma Moreira+1 more|ArXiv.org|Jun 21, 2009

Algorithms and Data Compression参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文提出了一种针对 k 字符字母表上的初始连通确定性有限自动机（ICDFA）的独特字符串表示方法，实现了 ICDFA 结构的精确计数、均匀随机生成以及最优编码。通过利用递归计数和预计算表，该方法能够高效地并行计数最小自动机和正则语言，实验结果表明当 k ≥ 3 且 n ≥ 80 时，超过 99% 的 ICDFA 是最小的。

ABSTRACT

In general, the representation of combinatorial objects is decisive for the feasibility of several enumerative tasks. In this work, we show how a (unique) string representation for (complete) initially-connected deterministic automata (ICDFAs) with n states over an alphabet of k symbols can be used for counting, exact enumeration, sampling and optimal coding, not only the set of ICDFAs but, to some extent, the set of regular languages. An exact generation algorithm can be used to partition the set of ICDFAs in order to parallelize the counting of minimal automata (and thus of regular languages). We present also a uniform random generator for ICDFAs that uses a table of pre-calculated values. Based on the same table it is also possible to obtain an optimal coding for ICDFAs.

研究动机与目标

• 开发一种针对无终态的非同构初始连通确定性有限自动机（ICDFA）的唯一、规范的字符串表示方法。
• 通过递归计数和预计算表，实现 ICDFA 结构的精确计数与均匀随机生成。
• 通过将 ICDFA 空间进行划分，实现对最小自动机与正则语言的高效并行计数。
• 通过整数与字符串表示之间的双射映射，实现 ICDFA 的最优编码。
• 验证大多数 ICDFA 是最小的这一猜想，尤其在较大字母表和状态数下。

提出的方法

• 通过字母表上的总序确保唯一性，基于 ICDFA 结构的广度优先遍历定义规范的字符串表示。
• 使用标志序列追踪状态转移，并通过递推关系计算部分和，以支持有序计数与整数映射。
• 利用从递推公式推导出的预计算表，支持均匀随机生成与整数编码。
• 通过按字典序构造字符串，结合标志位与字符放置规则，实现精确生成。
• 通过逆过程将整数映射回 ICDFA，使用连续减法与取模运算反向解码。
• 通过基于初始字符串片段划分 ICDFA 全集，实现并行计数最小自动机。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建 ICDFA 的唯一字符串表示，以支持精确计数与均匀随机生成？
• RQ2 如何利用递归计数与预计算表，支持 ICDFA 的最优编码与随机生成？
• RQ3 ICDFA 集合在多大程度上可被划分，以支持最小自动机与正则语言的并行计数？
• RQ4 ICDFA 中最小自动机的比例是多少，尤其在较大字母表与状态数下？
• RQ5 该字符串表示能否扩展以支持 ICDFA 结构的高效编码与解码？

主要发现

• 当 k=2 且 n=100 时，最小 ICDFA 的比例约为 80%，与 Nicaud 的猜想一致。
• 当 k=3,5,7,9,11,13 且 n=80 时，超过 99.7% 的 ICDFA 是最小的，且该比例随字母表大小增加而上升。
• 随机生成器通过了所有统计测试，p 值分别为 5933268.92456、5925676.75108 和 5935733.28172，均低于接受阈值 5938980.75468。
• 通过递归计数建立整数区间 [0, B_{k,n}) 与 ICDFA 结构之间的双射，实现最优编码。
• 通过在预计算表上连续减法与取模运算，高效计算从整数到 ICDFA 结构的逆映射。
• 实现支持精确计数与并行计数，可精确计算小字母表上不同正则语言的数量。