[论文解读] Associated primes of local cohomology modules of weakly Laskerian modules

Kamran Divaani-Aazar, Амир Мафи|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2005

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 10被引用 5

一句话总结

本论文在若干条件下建立了弱Laskerian模局部上同调模中相关素理想有限性的结果。证明了当消去理想为主理想，或环为维数≤3的局部环，或dim(R/𝔞)≤1时，对所有i≥0，H𝔞ⁱ(M)的关联素理想是有限的，将关于有限生成模的已知结果推广至更广泛的弱Laskerian模类，方法包括弱共有限性与谱序列技术。

ABSTRACT

The notion of weakly Laskerian modules was introduced recently by the authors. Let $R$ be a commutative Noetherian ring with identity, $\fa$ an ideal of $R$, and $M$ a weakly Laskerian module. It is shown that if $\fa$ is principal, then the set of associated primes of the local cohomology module $H_{\fa}^i(M)$ is finite for all $i\geq 0$. We also prove that when $R$ is local, then $\Ass_R(H_{\fa}^i(M))$ is finite for all $i\geq 0$ in the following cases: (1) $\dim R\leq 3$, (2) $\dim R/\fa\leq 1$, (3) $M$ is Cohen-Macaulay and for any ideal $\fb$, with $l=\grade(\fb,M)$, $\Hom_R(R/\fb,H_{\fb}^{l+1}(M))$ is weakly Laskerian.

研究动机与目标

• 将局部上同调模关联素理想的有限性结果从有限生成模推广至更广泛的弱Laskerian模类。
• 研究弱Laskerian模的局部上同调模具有有限关联素理想集的条件。
• 引入并研究弱共有限性这一概念，作为弱Laskerian模类中对共有限性的推广。
• 在弱Laskerian模背景下，建立经典局部上同调有限性定理的类比结果。

提出的方法

• 引入并分析弱Laskerian模，其定义为所有商模中具有有限关联素理想集。
• 为局部上同调模定义弱共有限性，推广𝔠-共有限性的概念。
• 应用谱序列与正合列，将局部上同调模与弱Laskerian模的子商模联系起来。
• 利用弱共有限性的环变换原理，将有限性性质在理想之间转移。
• 利用有限生成模的已知结果，并通过弱Laskerian性质将其推广。
• 应用归纳法与模论技巧，包括阶与Ext函子，以控制关联素理想。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于弱Laskerian R-模M与理想𝔞，H𝔞ⁱ(M)的关联素理想集在何种条件下是有限的？
• RQ2 局部上同调中关联素理想的有限性是否可从有限生成模推广至弱Laskerian模？
• RQ3 弱共有限性概念能否用于推广局部上同调模的经典共有限性结果？
• RQ4 R或R/𝔞的维数在确保弱Laskerian模局部上同调中关联素理想的有限性方面起什么作用？
• RQ5 Cohen-Macaulay模的性质如何与弱Laskerian条件相互作用，以确保局部上同调中关联素理想的有限性？

主要发现

• 若𝔞为主理想且M为弱Laskerian模，则对所有i≥0，Ass_R(H𝔞ⁱ(M))为有限集。
• 当R为维数≤3的局部环时，对所有i≥0及任意弱Laskerian模M，Ass_R(H𝔞ⁱ(M))为有限集。
• 若dim(R/𝔞)≤1且R为局部环，则对所有i≥0及任意弱Laskerian模M，Ass_R(H𝔞ⁱ(M))为有限集。
• 设M为局部环R上的Cohen-Macaulay模，若对所有满足grade(𝔟,M)=l的理想𝔟，Hom_R(R/𝔟, H𝔟^{l+1}(M))为弱Laskerian模，则对所有i≥0，Ass_R(H𝔞ⁱ(M))为有限集。
• 在上述情形下，局部上同调模H𝔞ⁱ(M)为弱共有限，从而保证关联素理想的有限性。
• 结果将Brodmann-Lashgari与Hartshorne-Singh的经典定理推广至弱Laskerian模的框架。