[论文解读] Associating vectors in $\CC^n$ with rank 2 projections in $\RR^{2n}$: with applications

Peter G. Casazza, Desai Cheng|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2017

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一句话总结

本文建立了 ℂⁿ 中的向量与 ℝ²ⁿ 中的秩-2 投影之间的对应关系，使得范数、内积、相位恢复、融合框架和等角性等关键性质能够在复数与实数设置之间相互转移。核心贡献是提出了爱迪丁关于相位恢复的定理在复数情形的类比，解决了长期存在的开放问题，并表明 ℂⁿ 中的相互 unbiased 基、等角框架和融合框架对应于 ℝ²ⁿ 中具有更优存在性和构造可能性的类似结构。

ABSTRACT

We will see that vectors in $\CC^n$ have natural analogs as rank 2 projections in $\RR^{2n}$ and that this association transfers many vector properties into properties of rank two projections on $\RR^{2n}$. We believe that this association will answer many open problems in $\CC^n$ where the corresponding problem in $\RR^n$ has already been answered - and vice versa. As a application, we will see that phase retrieval (respectively, phase retrieval by projections) in $\CC^n$ transfers to a variation of phase retrieval by rank 2 projections (respectively, phase retrieval by projections) on $\RR^{2n}$. As a consequence, we will answer the open problem: Give the complex version of Edidin's Theorem \cite{E} which classifies when projections do phase retrieval in $\RR^n$. As another application we answer a longstanding open problem concerning fusion frames by showing that fusion frames in $\CC^n$ associate with fusion frames in $\RR^{2n}$ with twice the dimension. As another application, we will show that a family of mutually unbiased bases in $\CC^n$ has a natural analog as a family of mutually unbiased rank 2 projections in $\RR^{2n}$. The importance here is that there are very few real mutually unbiased bases but now there are unlimited numbers of real mutually unbiased rank 2 projections to be used in their place. As another application, we will give a variaton of Edidin's theorem which gives a surprising classification of norm retrieval. Finally, we will show that equiangular and biangular frames in $\CC^n$ have an analog as equiangular and biangular rank 2 projections in $\RR^{2n}$.

研究动机与目标

• 建立 ℂⁿ 中向量与 ℝ²ⁿ 中秩-2 投影之间的数学对应关系，保持范数和内积结构。
• 通过建立复数情形下爱迪丁关于投影相位恢复定理的类比，解决在 ℝⁿ 中投影实现相位恢复的复数版本这一长期开放问题。
• 证明 ℂⁿ 中的融合框架、相互 unbiased 基（MUBs）以及等角/双角紧框架对应于 ℝ²ⁿ 中具有改进存在性和构造特性的类似结构。
• 证明 ℂⁿ 中的相位恢复等价于 ℝ²ⁿ 中秩-2 投影的变体相位恢复，从而实现新的分类结果。

提出的方法

• 通过保持内积和范数的规范等距嵌入，将 ℂⁿ 中的每个向量表示为 ℝ²ⁿ 中的秩-2 投影。
• 利用恒等式 |⟨v, w⟩| = ‖v‖‖Pᵥw′‖ 和 tr(PᵥPᵥ) = 2|⟨v, w⟩|²，将内积和范数信息传递到实投影空间。
• 将该对应关系应用于相位恢复：证明 ℂⁿ 中的相位恢复等价于 ℝ²ⁿ 中的秩-2 投影相位恢复。
• 通过结合几何论证和投影对应关系，证明爱迪丁定理的复数类比，建立相位恢复的必要与充分条件。
• 将该框架扩展至融合框架和等角/双角紧框架，证明紧性与角度性质在对应关系下保持不变。
• 利用该对应关系，为任意 m ≥ n 构造 ℝ²ⁿ 中 m 个二维子空间的紧致融合框架，解决了融合框架理论中长期存在的开放问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过 ℝ²ⁿ 中涉及秩-2 投影的实数类比来表征 ℂⁿ 中的相位恢复？
• RQ2 是否存在爱迪丁定理在复数情形的版本，用于分类在 ℂⁿ 中投影何时能实现相位恢复，类似于实数情形？
• RQ3 能否用 ℝ²ⁿ 中的相互 unbiased 秩-2 投影替代 ℂⁿ 中的相互 unbiased 基，以实现更丰富的构造？
• RQ4 在所提出的映射下，ℂⁿ 中的等角与双角紧框架是否对应于 ℝ²ⁿ 中的等角与双角紧致融合框架？
• RQ5 能否利用该对应关系，保证对于所有 m ≥ n，ℝ²ⁿ 中 m 个二维子空间的紧致融合框架存在？

主要发现

• 本文提供了爱迪丁定理的复数类比：ℂⁿ 中的一族投影实现相位恢复，当且仅当其在 ℝ²ⁿ 中对应的秩-2 投影满足关于投影张成空间的几何条件。
• 对于每个 m ≥ n，存在 ℝ²ⁿ 中 m 个二维子空间的紧致融合框架，解决了融合框架理论中长期存在的开放问题。
• ℂⁿ 中的相互 unbiased 基（MUBs）对应于 ℝ²ⁿ 中相互 unbiased 的秩-2 投影族，使得可构造的此类族数量显著多于实数情形下的 MUBs。
• ℂⁿ 中的等角与双角紧框架映射到 ℝ²ⁿ 中的等角与双角紧致融合框架，保持角度结构与紧性。
• 该对应关系使得通过 ℂⁿ 中范数恢复的像实现在 ℝ²ⁿ 中的范数恢复，并基于投影框架推导出新的分类结果。
• ℝ²ⁿ 中等角秩-2 投影族的数量超过 ℝⁿ 中等角直线的数量，提供了更丰富的结构——例如，在 ℝ¹⁴ 中存在 15 个此类族，而等角直线仅有 28 条。