[论文解读] Assouad-Nagata dimension of locally finite groups and asymptotic cones

J. Higes|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文解决了几何群论中关于Assouad-Nagata维数的两个开放问题：构造出具有有限正Assouad-Nagata维数的局部有限群（否定性回答了此类维数是否必须为无穷的问题），并提供了具有正Assouad-Nagata维数但其渐近锥全为超度量的空间（肯定回答了关于维数在渐近极限下行为的一个问题）。构造方法使用了具有拟超度量结构的有限群的直和，以及在乘积空间中对缩放立方体的控制。

ABSTRACT

In this work we study two problems about Assouad-Nagata dimension: 1) Is there a metric space of non zero Assouad-Nagata dimension such that all of its asymptotic cones are of Assouad-Nagata dimension zero? (Dydak and Higes) 2) Suppose $G$ is a locally finite group with a proper left invariant metric $d_G$. If $\dim_{AN}(G, d_G)>0$, is $\dim_{AN} (G, d_G)$ infinite? (Brodskiy, Dydak and Lang) The first question is answered positively not only for general metric spaces but also for discrete groups with proper left invariant metrics. The second question has a negative solution. We show that for each $n$ there exists a locally finite group of Assouad-Nagata dimension $n$. A generalization to countable groups of arbitrary asymptotic dimension is given

研究动机与目标

• 解决文献[11]中的问题4.5，即一个正Assouad-Nagata维数的度量空间是否可能所有渐近锥的维数均为零。
• 回答文献[6]中的问题5.3，即一个具有正Assouad-Nagata维数的局部有限群是否必须具有无穷维数。
• 显式构造出具有有限任意Assouad-Nagata维数 n ≥ 1 的可数局部有限群。
• 证明在可数群中，渐近维数与渐近Assouad-Nagata维数之间可相差一个有限且任意的量。

提出的方法

• 将局部有限群 G^n 构造为有限 n 维群 Z_{k_i}^n 的直和，其中 k_i 递增。
• 在群上赋予由各因子上的字度量生成的拟超度量 d_G，确保其具有适当的左不变性。
• 通过控制乘积空间中缩放立方体的性质，利用形如 D(s) = C·s + k 的控制函数来控制渐近Assouad-Nagata维数。
• 应用引理4.7与引理4.8，界定覆盖中 s-尺度连通分支的直径，从而证明维数恰好为 n。
• 对于无穷维情形，取 G = ⨁_{i=1}^∞ G_i^i，其中 G_i^i = Z_{k_i}^i，证明对所有 n 都有 asdim_AN(G) ≥ n。
• 构造乘积群 G^{(n,k)} = Z^n ⊕ G^k，采用混合度量，使得 asdim(G) = n 且 asdim_AN(G) = n+k。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个正Assouad-Nagata维数的度量空间，使得其所有渐近锥的维数均为零？
• RQ2 若一个局部有限群在某个适当的左不变度量下具有正Assouad-Nagata维数，该维数是否必为无穷？
• RQ3 能否构造出一个具有有限任意Assouad-Nagata维数 n ≥ 1 的可数局部有限群？
• RQ4 可数群的渐近维数与渐近Assouad-Nagata维数之间是否可相差一个有限且预设的量？
• RQ5 是否存在一个具有有限渐近维数的可数群，其在某个适当的左不变度量下具有有限但严格更大的渐近Assouad-Nagata维数？

主要发现

• 对每个 n ∈ ℕ，存在一个局部有限群 G^n 及其适当的左不变度量 d_n，使得 asdim_AN(G^n, d_n) = n。
• 该构造使用了有限 n 维群 Z_{k_i}^n 的直和，其中 k_i 递增且 r_i = floor(k_i/2)，以确保存在 n 维的缩放立方体。
• 所构造空间的渐近锥全为超度量，从而肯定回答了文献[11]中的问题4.5。
• 对每个满足 k ∈ ℕ ∪ {∞} 的 n 和 k，存在一个可数阿贝尔群 G^{(n,k)}，使得 asdim(G^{(n,k)}, d_{(n,k)}) = n 且 asdim_AN(G^{(n,k)}, d_{(n,k)}) = n+k。
• 结果表明，在可数群中，渐近维数与渐近Assouad-Nagata维数之间的差值可以是有限且任意大。
• 本文否定了将群的渐近Assouad-Nagata维数定义为所有其有限生成子群维数上确界的可能。