[论文解读] Asymptotic behavior of CLS estimators for unstable INAR(2) models

Mátyás Barczy, Márton Ispány+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2012

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 33被引用 5

一句话总结

本文建立了不稳定 INAR(2) 过程的条件最小二乘（CLS）估计量的渐近分布，根据过程的结构特性识别出三种不同的极限行为：可分解模型、不可分解但非正则模型，以及正则模型。主要贡献是通过弱收敛到平方非中心 Bessel 过程，推导出非标准极限分布，其与经典 AR(1) 单位根渐近理论不同。

ABSTRACT

In this paper the asymptotic behavior of the conditional least squares estimators of the autoregressive parameters $(α,β)$, of the stability parameter $\varrho := α+ β$, and of the mean $μ$ of the innovation $\vare_k$, $k \in \NN$, for an unstable integer-valued autoregressive process $X_k = α\circ X_{k-1} + β\circ X_{k-2} + \vare_k$, $k \in \NN$, is described. The limit distributions and the scaling factors are different according to the following three cases: (i) decomposable, (ii) indecomposable but not positively regular, and (iii) positively regular models.

研究动机与目标

• 刻画不稳定 INAR(2) 过程中自回归参数、稳定性参数 ϱ = α + β 和创新均值 μ 的条件最小二乘（CLS）估计量的渐近行为。
• 在三种结构情形下识别 CLS 估计量的显著极限分布：可分解模型、不可分解但非正则模型，以及正则模型。
• 将现有稳定 INAR(p) 模型的渐近理论扩展至不稳定（单位根）情形，特别是 p=2 的情况。
• 建立缩放后的随机阶梯过程弱收敛于平方 Bessel 过程（Cox–Ingersoll–Ross 过程）的结果，该过程为具有移民的连续时间分支过程。
• 为临界多类型分支过程和不稳定整数值时间序列模型的渐近推断提供理论基础。

提出的方法

• 在 INAR(2) 模型 X_k = α∘X_{k-1} + β∘X_{k-2} + ε_k 中，使用条件最小二乘（CLS）估计方法估计自回归参数 (α, β)、稳定性参数 ϱ = α + β 和创新均值 μ。
• 在不稳定情形下，应用由 INAR(2) 过程构成的缩放随机阶梯过程弱收敛于平方 Bessel 过程（Cox–Ingersoll–Ross 过程）的结论。
• 利用鞅差数组和函数中心极限定理技术，推导估计量过程的弱收敛性。
• 根据自回归多项式的谱特性对极限行为进行分类：可分解、不可分解但非正则，或正则模型。
• 应用具有时间变换鞅增量的随机过程的功能极限定理（定理 C.1），证明收敛于扩散过程。
• 通过经验协方差与方差统计量的收敛性，推导在不同结构假设下 CLS 估计量的极限分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不稳定 INAR(2) 过程中，自回归参数 (α, β) 的 CLS 估计量的渐近分布是什么？
• RQ2 在三种结构情形下——可分解、不可分解但非正则、正则模型——稳定性参数 ϱ = α + β 的 CLS 估计量的极限分布有何差异？
• RQ3 在不稳定 INAR(2) 模型中，创新均值 μ 的 CLS 估计量的极限行为如何？
• RQ4 不稳定 INAR(2) 模型中 CLS 估计量的缩放因子与极限分布，与经典不稳定 AR(1) 模型相比有何异同？
• RQ5 在不稳定条件下，INAR(2) 过程的缩放路径弱收敛于平方 Bessel 过程是否可被严格建立？

主要发现

• 对于可分解的不稳定 INAR(2) 模型，(α, β) 和 ϱ 的 CLS 估计量收敛于一个非退化的极限分布，该分布非正态，且依赖于过程的联合行为。
• 在不可分解但非正则的情形下，ϱ 的 CLS 估计量的极限分布为非标准分布，涉及 Bessel 过程的随机积分之比。
• 对于正则模型，稳定性参数 ϱ 的 CLS 估计量收敛于一个涉及如下形式随机积分之比的分布：∫₀¹ W_t dW_t / ∫₀¹ W_t² dt，其与 Dickey–Fuller 统计量类似，但适用于离散时间整数值设定。
• 创新均值 μ 的 CLS 估计量渐近服从正态分布，缩放因子为 √n，与标准渐近理论一致。
• 由 INAR(2) 过程构成的缩放随机阶梯函数的极限过程为平方 Bessel 过程（Cox–Ingersoll–Ross 过程），证实了弱收敛结果。
• 极限分布与经典不稳定 AR(1) 模型中的结果有本质不同，尤其在可分解和不可分解情形下，这是由于 INAR(2) 过程的离散性与轻尾创新特性所致。