[论文解读] Asymptotic Behavior of Local Particles Numbers in Branching Random Walk

E. Vl. Bulinskaya|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 19被引用 6

一句话总结

该论文研究了在任意起始点下，Z^d 上临界催化分支布朗运动中粒子局部数量的渐近行为以及存活概率。通过构建一个包含六种粒子类型的辅助 Bellman-Harris 过程，并利用最近由作者引入的“带禁止的首次 hitting 时间”概念，推导出与维度相关的极限定理，包括在非原点位置的粒子数量的 Yaglom 型条件极限分布，且在 d = 1 至 d ≥ 5 的不同维度下表现出不同的衰减速率。

ABSTRACT

Critical catalytic branching random walk on d-dimensional integer lattice is investigated for all d. The branching may occur at the origin only and the start point is arbitrary. The asymptotic behavior, as time grows to infinity, is determined for the mean local particles numbers. The same problem is solved for the probability of particles presence at a fixed lattice point. Moreover, the Yaglom type limit theorem is established for the local number of particles. Our analysis involves construction of an auxiliary Bellman-Harris branching process with six types of particles. The proofs employ the asymptotic properties of the (improper) c.d.f. of hitting times with taboo. The latter notion was recently introduced by the author for a non-branching random walk on an integer lattice.

研究动机与目标

• 确定在 Z^d 上临界催化分支布朗运动中，固定格点 y ≠ 0 处粒子的渐近均值数量。
• 分析在固定位置 y ≠ 0 处粒子存在的渐近概率。
• 在非空条件下，建立固定位置 y ≠ 0 处粒子数量经适当归一化后的条件极限定理。
• 将先前仅限于原点的研究结果推广至任意起始点和非原点位置。
• 通过引入一种新型的含六种粒子类型的辅助 Bellman-Harris 过程，统一所有维度 d ∈ ℕ 的渐近行为。

提出的方法

• 构建一个包含六种粒子类型的辅助 Bellman-Harris 分支过程，以模拟分支与运动的动力学。
• 采用作者近期引入的“带禁止的 hitting 时间”概念，分析首次通过行为。
• 利用带禁止的 hitting 时间的非正常累积分布函数，推导其渐近性质。
• 应用 Kolmogorov 方程与格林函数 Gλ(x,y) 来刻画转移概率与均值粒子数量。
• 推导生成函数 q(s,t;x,y) = 1 − Ex[s^μ(t;y)] 的积分方程，以分析存活概率与条件分布。
• 使用 Tauber 定理与拉普拉斯变换技术进行渐近分析，推导极限分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 在临界催化分支布朗运动中，当时间 t → ∞ 时，固定位置 y ≠ 0 处的粒子平均数量的渐近行为如何？
• RQ2 在时间 t 时，粒子存在于固定位置 y ≠ 0 的概率的渐近衰减速率是多少？
• RQ3 当 t → ∞ 时，给定至少存在一个粒子，固定位置 y ≠ 0 处粒子数量的条件极限分布是什么？
• RQ4 原点与非原点位置之间的渐近行为有何不同？其差异如何依赖于维度 d？
• RQ5 起始点 x ∈ Z^d 在决定局部粒子数量长期行为中起什么作用？

主要发现

• 当 d = 1 时，y ≠ 0 处的粒子平均数量衰减为 ∼γ₁/√t，存活概率衰减为 ∼2(1−α)/(σ²γ₁a√t ln t)。
• 当 d = 2 时，y ≠ 0 处的粒子平均数量衰减为 ∼γ₂/t，存活概率衰减为 ∼γ₂/t(1 − a/(1−α)J(0;y))（y ≠ 0）。
• 当 d = 3 时，y ≠ 0 处的粒子平均数量衰减为 ∼G₀(x,0)G₀(0,y)/(2πγ₃√t)，存活概率衰减为 ∼4πγ₃(1−α)G₀(x,0)/(σ²aG₃₀(0,0)√t ln t)。
• 当 d = 4 时，y ≠ 0 处的粒子平均数量衰减为 ∼G₀(x,0)G₀(0,y)/(γ₄ ln t)，存活概率衰减为 ∼3γ₄(1−α)G₀(x,0) ln t/(σ²aG₃₀(0,0)t)。
• 当 d ≥ 5 时，y ≠ 0 处的粒子平均数量收敛于有限极限 (1−α)G₀(x,0)G₀(0,y)/(aG²₀(0,0)md)，存活概率衰减为 ∼2mdG₀(x,0)/(σ²G₀(0,0)t)。
• 建立了 Yaglom 型条件极限定理：给定 μ(t;y) > 0 时，ln²t μ(t;y)/(c*t) 的拉普拉斯变换收敛于 1 − 3/2 ∫₀^λ ϕ²(w)dw，其中 ϕ(λ) = 2/(3λ + 2)，适用于 d = 4 且 x = 0 的情形。